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Der Satz von Stokes ist ein Ergebnis aus der Differentialgeometrie. In seiner mächtigsten Form handelt es sich um einen Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. Häufig werden aber speziellere Varianten angegeben.
Der Satz ist benannt nach Sir George Gabriel Stokes (1819-1903).
| Table of contents |
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2 Spezialfälle 3 Bedeutung |
Formulierung des Satzes
Sei M eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand ∂M mit induzierter Orientierung.
Sei ferner ω eine stetig differenzierbare Differentialform vom Grad n-1.
Dann gilt
wobei d die Cartan-Ableitung bezeichnet.
Spezialfälle
Mehrere Spezialfälle des Satzes von Stokes sind in der klassischen Vektoranalysis von Bedeutung.
Ist M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes , so kann man den Satz zu einer Aussage über die Rotation eines Vektorfeldes F umschreiben:
Oft wird diese spezielle Version schon als Satz von Stokes bezeichnet, besonders in der Physik und den Ingenieurswissenschaften. Andere Bezeichnungen sind Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz.
Für eine kompakte Teilmenge M des und ein Vektorfeld F erhält man als einen weiteren wichtigen Spezialfall den Gaußschen Integralsatz.
Der Satz von Stokes ist von fundamentaler Bedeutung in der Differentialgemetrie. Darüberhinaus finden er und seine Spezialfälle in vielen Bereichen der Physik Anwendung, beispielsweise in der Elektrodynamik.
Bedeutung