Als Schiefkörper, bzw. Divisionsring (nicht identisch mit dem Begriff Divisionsalgebra) wird ein Tripel ( S , + , · ) bezeichnet, wenn es die Bedingungen der nachfolgenden Tabelle erfüllt:
{| border cellpadding="6"
| colspan="2" | S ist eine Menge mit mindestens zwei Elementen.
+ ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ("Addition").
· ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ("Multiplikation").
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Die Addition ist assoziativ:
Für alle Elemente a, b und c aus S gilt:
- a + (b + c) = (a + b) + c
|
Die Multiplikation ist assoziativ:
Für alle Elemente a, b und c aus S gilt:
- a · (b · c) = (a · b) · c
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|
Neutrales Element der Addition ("Null"):
Es gibt ein Element 0 aus S,
so dass für alle Elemente a aus S gilt:
- a + 0 = a
|
Neutrales Element der Multiplikation ("Eins"):
Es gibt ein Element 1 aus S,
so dass für alle Elemente a aus S gilt:
- a · 1 = 1 · a = a
|-----
|
Inverse Elemente der Addition:
Zu jedem Element a aus S
gibt es ein Element -a mit
- a + (-a) = 0
|
Inverse Elemente der Multiplikation:
Zu jedem Element a ungleich 0 aus S
gibt es ein Element a-1 mit
- a · a-1 = a-1 · a = 1
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|
Die Addition ist kommutativ:
Für alle Elemente a und b aus S gilt:
- a + b = b + a
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| colspan="2" |
Distributivgesetze:
Für alle Elemente a, b und c aus S gilt:
- a · (b + c) = a · b + a · c und
(a + b) · c = a · c + b · c
|}
Falls ein Schiefkörper zusätzlich kommutativ bezüglich der Multiplikation ist
- (für alle a, b aus S gilt: a · b = b · a),
handelt es sich um einen Körper. Jeder Körper ist zugleich ein Schiefkörper. Es gibt Schiefkörper, die keine Körper sind, z.B. die Quaternionen.
Aus der Voraussetzung, dass S mindestens zwei Elemente besitzt, folgt 0 ungleich 1.
Es ist üblich, nicht nur das Tripel ( S , + , · ) als Schiefkörper zu bezeichnen, sondern auch S selbst.
siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen
