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Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt) zweier Vektoren und in einem Vektorraum ist das Produkt der in Richtung eines dieser beiden Vektoren (z. B. ) projizierten Komponenten. Sind die Komponenten der Vektoren reelle Zahlen, so ist das Skalarprodukt eine reelle Zahl (also ein Skalar).
Eine wichtige Eigenschaft des Skalarprodukts ist folgende: Das Skalarprodukt ist genau dann gleich Null, wenn die Vektoren und senkrecht aufeinander stehen.
Eine andere Möglichkeit, ein Produkt zweier Vektoren zu bilden, liefert das Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt, das aber nur in drei Dimensionen (oder höher) definiert werden kann.
| Table of contents |
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2 Komponentenweise Berechung 3 Spatprodukt 4 Andere Schreibweise 5 Definition |
Das Skalarprodukt wird mit einem Punkt als Multiplikationszeichen geschrieben. Wie bei normalen Multiplikationen kann der Punkt weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse auftreten können:
Man kann das Skalarprodukt aus der Länge der beiden Vektoren und sowie dem eingeschlossenen Winkel φ mittels
Das Skalarprodukt ist die Summe der Produkte der Vektorkomponenten in der gleichen Zeile:
Ein kombiniertes Vektor- und Skalarprodukt der Form , auch geschrieben, wird als Spatprodukt bezeichnet und ergibt das Volumen des durch die Vektoren , und aufgespannten Parallelepipedss (auch 'Parallelflach' oder 'Spat' genannt).
Man kann das Skalarprodukt zweier Vektoren v, w in R3 definieren durch:,
wobei ||v|| und ||w|| die Länge der Vektoren bezeichnet und der durch die Vektoren eingeschlossene Winkel ist.
Bei genauerer Betrachtung stellt man fest, dass man in einem beliebigen Vektorraum V kein natürliches Maß für Längen und Winkel findet.
Denkt man sich jedoch auf V (V sei ein R-Vektorraum) eine Abbildung
Gewöhnlicherweise benutzt man also nicht Längen und Winkel, um das Skalarprodukt zu bestimmen, sondern das Skalarprodukt um die anderen beiden Größen zu berechnen (bzw. zu definieren).
Sei V ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen R.
Ein Skalarprodukt
Mathematische Darstellung
oder
(Achtung: c ist hier kein Vektor)
berechnen.Komponentenweise Berechung
Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:Spatprodukt
Andere Schreibweise
gegeben, die bestimmte Eingenschaften erfüllt (s.u.), so kann man die Länge eines Vektoren v durch
und den Winkel zwischen zwei Vektoren v, w durch
definieren.Definition
ist eine bilineare Abbildung, die für beliebige x, y, z in V und a, b in R folgende Eigenschaften erfüllt:
Für einen Vektorraum V über den komplexen Zahlen C ist ein sesquilineares Produkt
eine Abbildung, die Eigenschaft (2)+(3) besitzt, aber bei der (1) ersetzt wird durch
Es gibt abweichende Konventionen, ob das Produkt im ersten oder zweiten Eintrag linear sein soll, d.h. manchmal wird (2) ersetzt durch