Stochastischer Prozess

Stochastische Prozesse sind mathematische Modelle für zeitliche Vorgänge, die durch zufällige Schwankungen beeinflusst sind. Wichtige physikalische Beispiele für stochastisch modellierbare Prozesse sind u. a. die brownsche Molekularbewegung und Diffusionsprozesse. In die Modelle gehen charakterischerweise Rauschtermeterme additiv oder multiplikativ ein.

Definition

Ein stochastischer Prozess ist formal ein Quadrupel (Ω, I, P,(Xt)t∈I). Hierbei ist (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum (kurz: W-Raum) und (Xt)i∈I eine Familie von Zufallsvariablen auf diesem W-Raum mit Werten in einem gemeinsamen Messraum (E, B). Den Messraum (E, B) bezeichnet man als den Zustandsraum des stochastischen Prozesses, den Index I nennt man auch Parameter- oder Zeitmenge. Für jedes ω∈Ω heisst die durch X(t)=Xt(&omega) definierte Abbildung von I in E ein Pfad des Prozesses.

Siehe auch: Stationärer Prozess (AR-, MA- und ARMA-Modelle), Poisson-Prozesse, Markow-Ketten, Random Walk/Irrfahrt, Gauss'scher Prozess, Wiener-Prozess, Erneuerungsprozess, Martingale, Ergodentheorie


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