Surjektivität

Surjektivität

In der Mathematik heißt eine Funktion surjektiv (engl.: onto, surjective), wenn jedes Element der Wertemenge durch die Funktion abgebildet wird. Man nennt die Funktion dann eine Surjektion, in bestimmten Zusammenhängen auch Projektion.

Eine surjektive Funktion ist also (als Relation gesehen) links- und rechtstotal.

Definition: heißt surjektiv, wenn .

Das heißt, jedes Element der Wertemenge hat (mindestens) ein Urbild.

Eine Funktion f: R → R ist genau dann surjektiv, wenn ihr Graph jede horizontale Gerade schneidet. Dabei muss es nicht nur einen einzigen Schnittpunkt geben; dies wäre schon die Bedingung der Bijektivität.

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Funktion f: R → R mit

ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y finden wir ein Urbild: Wir lösen die Gleichung nach x auf und erhalten

Dieses Berechnen von x reicht aber im allgemeinen nicht als Beweis. Man muss die Probe machen: In der Tat ist

Die Sinus-Funktion sin: R → [-1, 1] ist surjektiv. Jede horizontale Gerade y = y₀ mit -1 ≤ y₀ ≤ 1 hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graph der Funktion.

Die Sinus-Funktion sin: R → R ist jedoch nicht surjektiv, da z.B. die Gerade y = 2 keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat.

Ein weiteres Beispiel für die Abhängigkeit der Surjektivität vom Wertebereich ist im Artikel Injektivität gegeben.

Eigenschaften

Eine Funktion f: X → Y ist genau dann surjektiv, wenn es eine Funktion g: Y → X gibt mit f o g = id_Y. (Dieser Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom.)

Ist f o g surjektiv, dann ist f surjektiv. g muss nicht surjektiv sein. Ist f o g injektiv, dann ist g injektiv. f muss nicht injektiv sein.

Sind f und g surjektiv, dann ist f o g surjektiv.

Ist f: X → Y surjektiv und B eine Teilmenge von Y, dann gilt . Im allgemeinen gilt nur , z.B. für f von R nach R mit und B = [-1, 1] ist .

Ist f: X → Y surjektiv, dann hat X mindestens so viele Elemente wie Y, im Sinne der Mächtigkeit. (Auch dieser Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom.)

Siehe auch: Bijektivität, Injektivität