Ein Gravitationsfeld wird durch Abweichungen des Metrischen Tensors vom Metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie beschrieben:

beschreibt ein kugelsymmetrisches Gravitationsfeld, es handelt sich um den Metrischen Tensor der Schwarzschildmetrik. Sie gilt außerhalb einer Massenverteilung, d.h. falls sich die Massenverteilung in eine Kugel mit Radius R einschließen lässt und r > R ist.

a berechnet sich zu ,

wird als Schwarzschildradius bezeichnet.

Der Koordinaten-Vektor sieht folgendermaßen aus:

In der Schwarzschildmetrik wird mit dem Faktor multipliziert. ist die Zeitdifferenz, die im Abstand r vom Gravitationszentrum für ein Ereignis von einem dort lokalisierten Beobachter gemessen wird. Sie ist kleiner als die Zeitdifferenz dt eines Beobachters, der sich weit entfernt vom Gravitationszentrum befindet, und die Zeitdifferenz für das gleiche Ereignis misst.

Ein Beispiel

Ein Auto bewege sich auf der Erdoberfläche von München nach Stuttgart und benötige hierfür eine Zeit von 2 Stunden.

Ein Beobachter in großer Entfernung von der Erdoberfläche mißt für diesen Vorgang eine größere Zeit,

2 + x Stunden.

x ist eine sehr kleine Zeiteinheit, auf deren exakten Wert es bei diesen Überlegungen nicht ankommt, es ist nur wichtig, dass x > 0 ist.

Für den entfernten Beobachter scheint die Uhr auf der Erdoberfläche langsamer zu gehen, da sie für den Vorgang weniger Zeit benötigt als seine eigene Uhr.

Dieses Phänomen gilt allgemein, Uhren gehen für einen weit entfernten Beobachter langsamer, wenn sie sich dem Gravitationszentrum nähern.

Um die Effekte der Zeitdilatation durch Bewegungen auszuschließen, wird der weit entfernte Beobachter als ruhend angenommen (relativ zur felderzeugenden Masse).

Der Effekt der langsamer gehenden Uhren ist ein Resultat der Krümmung in der Zeit. Sie wird ausgedrückt durch den Term des Metrischen Tensors der Schwarzschildmetrik (Abweichungen von 1).

Die Gravitation wird sowohl durch Krümmungen in der Zeit als auch durch Krümmungen des Raumes hervorgerufen. In der Schwarzschildmetrik ist der Term hierfür verantwortlich (Abweichungen von 1).

Bei schwachen Gravitationsfeldern, für die der Radius der Massenansammlung R wesentlich größer als 2a ist (z.B. für das Erdgravitationsfeld) beruht die Gravitation im wesentlichen auf der Krümmung der Zeitkomponente.

Massenansammlungen, die sich innerhalb eines Radius R befinden, für den R<2a ist, bilden ein Schwarzes Loch.

Übergang zum flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie

Falls r sehr groß wird, verschwindet der Term und die Metrik reduziert sich zu

.

Diese Metrik beschreibt den flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie, dabei wird der räumliche Anteil der Metrik ausgedrückt in Kugel-Koordinaten. Man vergleiche diese Darstellung mit dem Metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie in kartesischen Koordinaten.

In dieser Darstellung ist das Gravitationsfeld verschwunden.

Entsprechend vereinfacht sich der Metrische Tensor: