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| Table of contents |
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2 Definition 3 Objekte der Topologie 4 Berühmte Topologen 5 Literatur 6 Weblinks |
(Die Einleitung ist sehr oberflächlich gehalten in der Hoffnung, dabei auch intuitiv zu sein.)
Die Topologie beschäftigt sich mit topologischen Räumen.
Die Grundlage der Topologie ist die so genannte mengentheoretische Topologie.
Sie baut direkt auf der Mengentheorie auf und kann zusammen mit der Algebra zusammen als einer der zwei Stützpfeiler für alle anderen Felder der Mathematik angesehen werden. (Die Topologie ist z.B. für die Geometrie, Analysis und Funktionalanalysis wichtig.)
Die Topologie formalisiert den Begriff der "Nähe".
Als Beispiel betrachte man z.B. die Menge der ganzen Zahlen und die der rationalen Zahlen .
Da es bijektive Abbildungen zwischen und gibt, sind sie als Mengen ununterscheidbar.
Aber die topologische Struktur sieht für beide Objekte anders aus:
In liegen alle Punkte diskret, d.h. im Gegensatz zu gibt es um jeden Punkt eine kleine Umgebung, in der kein weiterer Punkt liegt.
Natürlich kann man die ganzen und die rationalen Zahlen auch durch ihre algebraische Struktur unterscheiden.
In unserem Beispiel kann man für je zwei Punkte aus oder den Abstand angeben.
Eine Umgebung eines Punktes besteht mindestens aus all den Punkten, deren Abstand zu kleiner als eine Zahl ist.
Auf den ganzen Zahl gibt es also kleine Umgebungen, die keinen weiteren Punkt enthalten, während für die rationalen Zahlen jede Umgebung eines Punktes unendlich viele weitere Elemente aus enthält, unabhängig davon, wie klein die Zahl und damit die Umgebung gewählt wird.
Während die beiden obigen Beispiele den Begriff des Abstandes verwenden, besteht die Leistung der (mengentheoretischen) Topologie darin, das Konzept der Nähe auf den Kern reduziert zu haben.
Dies gelingt, indem man statt der Abstandsfunktion nur noch die Menge aller Umgebungen betrachtet (bzw. in einer beliebigen Menge zu jedem Punkt einen Satz von Teilmengen auswählt, die man als die Umgebungen dieses Punktes definiert).
Man findet so viele Beispiele von topologischen Räumen, auf denen es nicht mehr möglich ist den Abstand zwischen den Punkten anzugeben.
Es gibt zwei Gründe, die für die Betrachtung dieser Struktur sprechen:
Zunächst gibt es natürliche Beispiele von Räumen, auf denen keine Abstandsfunktion definiert werden kann (z.B. manche Quotientenräume).
Andererseits ist man oft nicht an dem konkreten Abstand definiert:
Man stelle sich einen Körper im vor, den man ausbeult und verformt (ohne ihn aber zu zerreissen).
Der Abstand zweier Punkte in diesem Objekt hat sich geändert, aber wichtige Grundeigenschaften sind geblieben, z.B. kann man zwei Punkte, die man vor der Verformung verbinden konnte auch weiterhin verbinden oder ein Punkt im Innern des Körpers bleibt im Innern.
Nicht jede Abbildung zwischen topologischen Räumen ist verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z.B. gibt es bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den rationalen Zahlen, aber die beiden Räume sehen ganz verschieden aus).
Eine Abbildung ist in diesem Sinne gutartig und wird stetig genannt, "wenn sie die Nähe erhält".
Eine Funktion , die auf und auf abbildet, ist z.B. nicht stetig, denn Zahlen, die "in der Nähe von liegen", werden "weit weg" von abgebildet.
Zwei topologische Räume sind äquivalent und werden homöomorph genannt, wenn es eine bijektive stetige Abbildung gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Die mengentheoretische Topologie erlaubt die Konstruktion von sehr vielen Pathologien.
Dies macht sie in der größten Allgemeinheit zu einem relativ fruchtlosen Gebiet.
Topologen beschäftigen sich deshalb mit spezielleren Räumen, z.B. Mannigfaltigkeiten oder CW-Komplexen.
Die algebraische Topologie ist ein wichtiges Teilgebiet.
Sie ordnet topologischen Räumen algebraische Objekte zu, die in der Regel leichter untereinander zu vergleichen sind.
Dies ist leider noch nicht fertig.
Die Topologie behandelt die Eigenschaften geometrischer Objekte (Kurven, Flächen, Räume), die bei umkehrbar eindeutigen, stetigen Abbildungen erhalten bleiben.
Die Topologie hat enge Verbindungen zur Geometrie und zur Gruppentheorie.
Einleitung
Eine Auflistung und Erklärung von Begriffen aus der Topologie findet man im Topologie-Glossar.Definition
Objekte der Topologie
Berühmte Topologen
Literatur
Weblinks