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1 Definition 2 Beispiele 3 Sprechweise 4 Literatur 5 Links

Definition

Eine Topologie ist eine Familie von als offen bezeichneten Teilmengen der Grundmenge X (und ist damit eine Teilmenge der Potenzmenge von X), die folgenden Axiomen genügt:

1. Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Topologie ist feiner als eine Topologie , wenn jede offene Menge von auch offen in ist. heißt dann gröber als .

Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Räumen sind im Topologie-Glossar zusammengefasst.

Beispiele

Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien die gröbste, die nur die leere Menge und die Grundmenge, und die feinste Topologie, die alle Teilmengen enthält. Letztere heißt die diskrete Topologie der Grundmenge.

Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.

Sprechweise

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet.

Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als Obermengen von offenen Mengen, die den Punkt enthalten.

Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen:

• Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

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