Transzendente Zahl

Table of contents
1 Definition
2 Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs
3 Beweis des Liouvilleschen Approximationssatzes
4 Beispiele für transzendente Zahlen
5 Verallgemeinerung
6 Literatur
7 Weblinks

Definition

Eine komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen (endlichen) Grades

für n ≥ 1 mit ganzzahligen Koeffizienten ak auftreten kann, wobei nicht alle ak = 0 sein dürfen. Insbesondere wird an ≠ 0 verlangt. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational.

Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs

Joseph Liouville konnte 1873 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und war imstande, mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele zu liefern. In seiner Arbeit, in der er zeigen konnte, dass für jede rationale Approximation p/q einer algebraischen Zahl eine natürliche Zahl n existiert, so dass

stellte er die nach ihm benannte transzendente Liouville-Konstante

vor.

In einem nichtkonstruktiven Beweis konnte Georg Cantor 1874 nicht nur abermals die Existenz einer Menge transzendenter Zahlen beweisen, sondern gleichzeitig Aussagen über deren Mächtigkeit treffen. Nach seinem Resultat folgt aus der Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen und der Überabzählbarkeit von für die Menge der transzendenten Zahlen

wobei die Mächtigkeit von ist. Dieses kuriose Resultat, nämlich dass eine echte Teilmenge von die gleiche Mächtigkeit haben kann wie selbst, konnte Cantor durch die Benutzung von Bijektionen erklären.

Beweis des Liouvilleschen Approximationssatzes

Theorem: Ist zm = pm/qm mit zm → z für m → ∞ eine approximierende Folge der algebraischen Zahl z vom Grad n, dann gilt:

Sei z eine algebraische Zahl vom Grad n > 1, die

erfüllt. Weiterhin sei zm = pm/qm eine Folge von rationalen Zahlen mit zm → z für n → ∞.

Dann erhalten wir

Nun teilen wir beide Seiten der Gleichung durch zm - z und benutzen die algebraische Identität

Es ergibt sich also

Da |zm - z| < 1 für ausreichend großes m gilt, können wir folgende grobe (aber vollkommen ausreichnede) Abschätzung machen:

M ist eine Konstante, da wir z als feste Zahl angenommen haben. Wenn wir jetzt m so groß wählen, dass in zm = pm/qm der Nenner qm > M ist, erhalten wir die Ungleichungskette

Wenn wir zur Abkürzung p für pm und q für qm schreiben, dann ist

Nun kann die Zahl zm keine Nullstelle des Polynoms f sein, denn sonst könnte man (x - zm) aus f(x) ausklammern. Daraus würde aber im Widerspruch zu unserer Annahme folgen, dass z einer Gleichung genügen würde, deren Grad < n wäre. Daher ist f(zm) ≠ 0. Aber der Zähler von (1) ist eine ganze Zahl, also vom Betrag mindestens gleich 1. Somit ergibt sich durch Kombination von (1) und (2):

Beispiele für transzendente Zahlen

Verallgemeinerung

Im Kontext allgemeiner Körpererweiterungen L/K betrachtet man ebenfalls Elemente in L, die algebraisch oder transzendent über K sind. Siehe dazu Algebraisch.

Literatur

Weblinks