Unendliche Reihe

Unendliche Reihe

In der Mathematik ist eine unendliche Reihe nichts anderes als eine Folge von Partialsummen der Form . Eine solche Folge kann einen endlichen Grenzwert haben, man sagt sie konvergiert, oder nicht, dann divergiert sie. Dass unendliche Reihen konvergieren können, löste einige der Paradoxa von Zenon.

Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen ist

Man kann ihre Konvergenz auf der Zahlengeraden visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit der Länge zwei vor, auf der aufeinanderfolgene Abschnitte mit den Längen 1, 1/2, 1/4, usw. markiert sind. Es gibt auf dieser Linie immer noch Platz für einen weiteren Abschnitt, da immer noch so viel Platz ist, wie der letzte Abschnitt lang war: Wenn wir die Strecke 1/2 markiert haben, haben wir insgsamt 3/2 verbraucht, es bleiben also noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 wegstreichen, bleibt ein weiters 1/4 übrig, etc. Dieses Argument beweist zwar nicht, dass die Summe gleich 2 ist, aber dass sie höchstens 2 ist. Die Reihe hat also eine Obergrenze.

Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe und wird mathematisch üblicherweise als

geschrieben.

Table of contents

1 Konvergenz

1.1 Konvergenzkriterien
1.2 Beispiele

2 Potenzreihen
3 Literatur

Konvergenz

Eine gegebene unendliche Reihe

mit reellen (oder komplexen) Zahlen a_n konvergiert nach S, wenn der Grenzwert

existiert und gleich S ist. Man sagt auch, dass S der Wert der Reihe ist. Anderenfalls heißt sie divergent.

Unabhängig von der Konvergenz setzt man oft

um so der Reihe einen Namen S zu geben. Konvergiert S, dann identifiziert man S mit dem Wert der Reihe.

Konvergenzkriterien

Im Folgenden seien die Zahlen a_n stets reelle oder komplexe Zahlen, und die Reihe S definiert als

Notwendige Bedingung
Wenn die Reihe S konvergiert, dann konvergiert die Folge (a_n) der Summanden nach 0 für n->∞. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe).

Majorantenkriterium
Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S konvergiert und für alle n gilt

a_n ≥ |b_n|

mit reellen oder komplexen Zahlen b_n, dann konvergiert auch die Reihe

und es ist |T| ≤ S.

Minorantenkriterium
Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S divergiert und für alle n gilt

a_n ≤ b_n

mit nichtnegativen reellen Zahlen b_n, dann divergiert auch die Reihe

Quotientenkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Wurzelkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Integralkriterium
Ist f: [1, ∞) -> [0, ∞) eine nichtnegative, monoton fallende Funktion mit

f(n) = a_n für alle n,

dann konvergiert S genau dann, wenn das Integral

existiert.

Leibniz-Kriterium
Eine Reihe der Form

mit nichtnegativen a_n wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge a_n monoton fällt und gegen 0 konvergiert. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig.

Beispiele

Eine geometrische Reihe

konvergiert genau dann, wenn |z| < 1.

Die Reihe

konvergiert, wenn r > 1 und divergiert für r ≤ 1, was mit dem Integralkriterium gezeigt werden kann. Als Funktion von r aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemansche Zeta-Funktion.

Die Teleskopreihe

konvergiert genau dann, wenn die Folge b_n für n->∞ gegen eine Zahl L konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann b₁ - L.

Potenzreihen

Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.

Literatur

K. Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer, 1996 (Neuauflage)