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Die Unendlichkeit ist ein der direkten menschlichen Erfahrung fremdes Phänomen. Sie kann nur abstrakt in der Vorstellung entwickelt werden und wird auf Objekte, die keine räumlichen oder zeitlichen Grenzen besitzen, angewendet. Beispielsweise ist ein unendlich ausgedehnter Weltraum vorstellbar; auch kann man sich eine Zeit ohne Ende denken (siehe Ewig).
Unendliche Ausdehnungen der physikalischen Welt werden durch das aus der Mathematik stammende Symbol ∞, eine auf der Seite liegende 8, die ein Möbiusband symbolisieren soll, dargestellt.
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2 Zitate 3 Literatur 4 Weblinks |
Die Mathematik selbst kennt den Begriff des Unendlichen in verschiedenen Teildisziplinen.
Diese unterschiedlichen "Unendlichkeiten" haben dann jeweils ihre eigenen Eigenschaften, und die Unendlich-Begriffe sind nicht austauschbar.
Die Mengenlehre kennt die Mächtigkeit einer Menge, welche bei endlichen Mengen genau die Anzahl der Elemente angibt.
Die einfache, der Vorstellung relativ leicht zugängliche Menge der natürlichen Zahlen, ist jedoch nicht mehr endlich.
Das lässt sich leicht durch einen "Widerspruchsbeweis" einsehen: "Man nehme an, es gäbe endlich viele natürliche Zahlen. Diese Zahl sei k. Da es aber eine Zahl k+1 gibt, war die Annahme falsch. Daher gibt es unendlich viele natürliche Zahlen."
Mengen mit unendlich vielen Elementen haben Eigenschaften, die der direkten Anschauung zuwiderlaufen.
Beispielsweise enthält die Menge der natürlichen Zahlen die Teilmenge der geraden natürlichen Zahlen.
Zwischen dieser Teilmenge und der Menge der natürlichen Zahlen existiert eine Bijektion, das ist eine Abbildung, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet, und umgekehrt. (Siehe dazu auch Hilberts Hotel.)
Wenn zwei Mengen durch eine Bijektion aufeinander abgebildet werden können, besitzen sie die gleiche Mächtigkeit.
Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt also eine Teilmenge, die gleichmächtig zur Menge selbst ist.
Eine derartige Eigenschaft kann benutzt werden, um unendlich große Mengen zu erkennen.
Man sagt, dass eine Menge unendlich groß ist, wenn sie gleichmächtig zu einer ihrer echten Teilmengen ist.
Diese Begrifflichkeit des Unendlichen wird noch interessanter, da es verschiedene Mengen gibt, die unendlich viele Elemente besitzen, die aber nicht bijektiv aufeinander abgebildet werden können.
Diese unterschiedlichen Mächtigkeiten werden mit dem Symbol ℵ (Aleph, dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets), und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet (die Indizes durchlaufen die Ordinalzahlen).
Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen (die kleinste Unendlichkeit) ist in dieser Schreibweise
ℵ0.
Die Reellen Zahlen bilden eine unendliche Menge, die mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen ist.
Unter der Voraussetzung, dass die Kontinuumshypothese wahr ist, ist die Mächtigkeit der reellen Zahlen
ℵ1.
Weitere Unendlichkeiten lassen sich mittels der Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) konstruieren, wobei aus einer Menge mit Mächtigkeit
ℵn die Potenzmenge mit Mächtigkeit
ℵn+1 entsteht.
Dieser Vorgang kann (formal) immer weiter geführt werden, so dass es unendlich viele Unendlichkeiten gibt (ein wahrlich die Anschauung strapazierendes Konzept).
Es gibt in der Mengenlehre mehrere "Zahlensysteme", die unendlich große Zahlen enthalten. Die bekanntesten sind Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, Hyperreelle Zahlen und Surreale Zahlen.
Das Symbol ∞ wird in der Analysis verwendet, um anzuzeigen, dass eine Folge reeller Zahlen über alle Grenzen wächst. Siehe dazu Konvergenz (Mathematik) und Grenzwert.
Siehe auch: Infinitesimal -- Limes -- Null (Zahl) -- Augustinus --Null_(Zahl)
Albert Einstein: "Zwei Dinge sind unendlich: Das Universum und die menschliche Dummheit --- Beim Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher."
Unendlichkeit in der Mathematik
Mengenlehre
Analysis
Zitate
Literatur
Weblinks