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In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe , die bezüglich selbst wieder eine Gruppe bildet.
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2 Beispiele 3 Eigenschaften |
Es läßt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren:
Eine nichtleere Teilmenge U von G ist eine Untergruppe von G, genau dann wenn gilt:
Eine weitere äquivalente Forderung ist, dass U eine nichtleere Teilmenge von G ist mit:
Triviale Untergruppen jeder Gruppe G sind sowie (wobei das neutrale Element der Gruppe G ist).
Beispiele für Untergruppen:
Satz von Lagrange: Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe G.
Ist beispielsweise |G| eine Primzahl, kann G nur einelementige Untergruppen enthalten. Die einzige solche ist aber {ε}, also hat G dann keine nichttrivialen Untergruppen.
Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Sie dienen der Erzeugung von Faktorgruppen.
Ist A Untergruppe einer Gruppe B, die ihrerseits Untergruppe von C ist, dann ist A auch Untergruppe von C. (Die entsprechende Aussage für Normalteiler gilt nicht.)
Äquivalente Definitionen
Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass das neutrale Element in der Untergruppe enthalten sein muss.
Je nach Kompliziertheit der Verknüpfung ist es einfacher, die beiden Bedingungen der ersten Formulierung oder die Bedingung der zweiten Formulierung zu beweisen.Beispiele
Eigenschaften