Wir betrachtenVektorfelder, welche jedem Punkt dieses Raumes einen Vektor zuordnen, und Skalarfelder, welche jedem Punkt dieses Raumes einen Skalar zuordnen. Die Temperatur eines Swimmingpools zum Beispiel ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt ordnen wir den Skalarwert seiner Temperatur zu. Die Wasserbewegung in diesem Swimmingpool ist dagegen ein Vektorfeld: Jedem Punkt ordnen wir einen Geschwindigkeitsvektor zu.

Drei Rechenoperationen sind in der Vektorrechnung von Bedeutung:

; Gradient eines Skalarfeldes: Gibt die Richtung und Stärke der Veränderung eines Skalarfeldes an; der Gradient eines Skalarfeldes ist selbst ein Vektorfeld. ; Rotation eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, um Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld von Pseudovektoren. ; Divergenz eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, zu Punkten hin oder von Punkten weg zu fließen; die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.

Die meisten analytischen Ergebnisse sind leichter mit Hilfe der Differentialgeometrie zu verstehen, einer Theorie, die die Vektorrechnung umfasst.