1. Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
2. Si se suma lo mismo a cantidades iguales los totales son iguales.
3. Si se quita lo mismo a cantidades iguales los restos son iguales.
4. Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales, los totales serán desiguales.
5. Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
6. Las unidades de una misma cosa son iguales entre sí.
7. Las cosas que se superponen una a la otra son iguales entre sí.
8. El todo es mayor que las partes.
9. Dos rectas no comprenden un espacio.

1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.

Actualmente se llaman sencillamente axiomas a los principios que se aceptan sin demostración al desarrollar una teoría. O mejor aún, los axiomas caracterizan y definen la estructura que estudie la teoría en cuestión. Así, hablamos de los axiomas de grupo, los axiomas de anillo, los axiomas de la geometría proyectiva, de la geometría afín o de la geometría euclídea, etc.

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que cualquier sistema axiomático (con unos axiomas y métodos de deducción bien definidos y establecidos) que sea consistente (sin contradicciones) e incluya a la Aritmética posee serias limitaciones, pues siempre habrá una proposición P que es verdadera pero no es demostrable a partir de tales axiomas con las reglas de deducción establecidas. De hecho Gödel prueba que en cualquier sistema formal que incluya la Aritmética puede formarse una proposición P que esencialmente afirma «Este enunciado no es demostrable». Si se pudiera demostrar P, el sistema tendría contradicción: no sería consistente. Luego P no es demostrable ¡y por tanto P es verdadero! Este teorema de Gödel ha menudo ha sido interpretado en un sentido pesimista, como una especie de limitación esencial del conocimiento humano o algo así. Pero ese no es el caso, debe notarse que Gödel demuestra que tal enunciado P es verdadero, así que el resultado de Gödel realmente muestra que ningún sistema axiomático consistente (entendido como máquina de deducir) agota la capacidad de demostración de la razón humana. Por el contrario, su verdadero sentido es que ningún ordenador ni proceso meramente mecánico pude emular el raciocinio humano, que nuestro espíritu no es lo que hoy en día entendemos como máquina.

Redactado por Alonso de Celada