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Vivimos una época de cierta "revolución silenciosa" en el pensamiento y que queremos hacer patente; la teoría de las categorías es uno de los lugares donde se está jugando esta revolución. Por ello requiere de cierta filosofía (todos hacemos cierta filosofía cuando decimos que no la tenemos en cuenta).
A veces la fría "contemplación" matemática no sirve para la presentación adecuada de "lo que está pasando". Para mantener el espíritu "objetivo" que requiere esta enciclopedia insistiré desde el principio en que esta teoría puede convivir y convive con todo lo demás, y que afirmaciones como la del físico John Báez, que "todo encaja en el bello marco de esta teoría", son debidas a que estamos tratando con un tema muy delicado: los fundamentos de la matemática. Tema que es polémico en sí y que requiere de cierto modo de "no ser objetivos". Las intuiciones requieren decisiones, las decisiones se basan en anteriores intuiciones, en anteriores decisiones, pero no por completo. Existe cierto Real ahistórico que provoca transformaciones, no todo es "historia".
La teoría de las categorías está sirviendo precisamente para "objetivizar" cosas nunca antes "objetivizadas". Entonces espero que se comprenda por qué esta lenta aproximación: la teoría de las categorías: ¡sirve hasta para cambiar el sentido de lo que se pide tradicionalmente en un artículo enciclopédico!: objetividad. Insistamos en esto: los fundamentos de la matemática atañen al estatuto de lo objetivo, a las concepciones usuales, a conceptos básicos no especializados, por lo tanto no pueden ser presentados como otra teoría más. Esta sería la presentación más objetiva de un tema que estamos diciendo que "re-objetiviza". El esfuerzo en "pensar profundo lo básico" que conllevan los fundamentos debe ser ejemplificado e ilustrado de alguna manera, y con lo que expondremos queremos contribuir a hacer más fácil su práctica.
La matemática, pese a que es usada demasiado a menudo en educación para convencernos de que no es algo que nos concierna y para convencernos de que en general nos tenemos que aburrir con todo lo que se nos ponga por delante, de que no podemos hablar y disfrutar de ella y con ella, es, sin embargo, "pensamiento". Los matemáticos crean conceptos "de la nada", de esa nada tan Real que persiguen todas las ciencias y que la filosofía tematiza tan diestramente con palabras como por ejemplo la de "Acontecimiento".
Los matemáticos no sabían bien hablar de lo que hacen, lo que mejor se les daba era "hacerlo". Creo que con la teoría de las categorías y su uso a todo lo largo de la ciencia y el pensamiento se nos puede abrir cierto camino para paliar la proverbial incomunicación matemática, para paliar (y complementar) cierta excesiva separación en el mundo del pensamiento. Creo que es así de importante, e importante para todos, comunidad matemática "especializada" inclusive. Y creo que esto, con un simple artículo de "matemáticas" no puede ser presentado en toda su "dimensión". Existen matemáticos (Lawvere...) que no sólo trabajan en fundamentos de la matemática, también en fundamentos de la física y que incluso ¡escriben filosofía, son filósofos!
Estamos demasiado acostumbrados a vernos como el ombligo del mundo: se nos hace difícil comprender que el mundo no se acaba con nosotros y que por ello no debemos sólo preocuparnos por la "salud" de nuestro profesional y super-especializado "paso por el mundo". Resulta que existe "la inteligencia", en general, existe la verdad (local y localizada). Intentemos entonces presentar cierto tema para visualizar esto y para conseguir relacionarlo con la teoría de las categorías. Galileo ¿era físico? ¿era matemático?... No; Galileo pensaba. ¿Se enseña ahora a pensar? No necesariamente. Se intenta, -en los territorios todo a lo largo del mundo rico- que se aprenda, que se domine quizás un cierto corpus matemático, que está volcado hacia la parte técnica tradicionalmente "no conceptual" de la matemática, y que gira excesivamente en torno a un empobrecido y pobre concepto de número.
Ahora bien, a poco que pensemos, las fronteras, las percepciones en cuanto a la separación entre matemáticas, física y filosofía nunca van a dejar de cambiar y seguramente con el objetivo de conseguir cierta unificación (y aquí es donde puede estar jugando el papel la teoría de las categorías). ¿Por qué no deben dejar de cambiar? Porque... ¿qué hace un matemático? Piensa, también; pero, ¿con qué? Pues primeramente y para pisar tierra firme creo que debemos decir, sin miedo: piensa con el "cuerpo físico" llamado cerebro/cuerpo.
Así que la matemática es cierto acto humano que "actualiza aquello que existe en potencia" básicamente en nuestra realidad cerebral física, que, aunque moldeada como queráis por lo social es básica y fundamentalmente "física". Y ¿Por qué sólo "cerebral"? Intentemos una pequeña "demostración", proporcionada quizá por un sentido común no tan común ahora. Pues es básicamente sólo cerebral simplemente porque la realidad exterior, la que tematiza la física, ¡es matematizable!, ¡y la matemática la hacemos con el cerebro!
También: ¿qué hace un físico? Pues piensa. Y piensa "matematizando", conceptualizando matemáticamente, ¡con el cerebro!, que es "de donde salen" también las matemáticas. Aunque piense y a veces fabrique una supuesta "realidad exterior" la está pensando con cierta realidad ¡física!interior: el cerebro.
Ahora bien, ¿qué hace un filósofo? Piensa. ¿Qué? Pues mucha gente cree que los filósofos piensan en todo y en nada. Aunque no es exactamente así. Los filósofos se intentan servir de gran parte de la "cultura" que les rodea para pensar las relaciones entre el saber y la verdad, lo real y lo dicho sobre lo real. Lo Real. El acontecimiento. Nos sorprendermos creando nuevas relaciones entre saber y verdad, permitiendo nuevos discursos y nuevas "realidades". Nuestro cerebro, como realidad física comparte con las demás realidades físicas esta "capacidad", por ello existe la filosofía, el acontecimiento..., el pensamiento...
Es ya, entonces, obvio que pensar nunca ha sido lo que quiere que hagamos nuestro sistema de enseñanza (decírselo a Einstein por ejemplo), y nunca será lo que quieren nuestros gobernantes o nuestros vigilantes, nunca mientras dinero y poder sigan tan unidos. Pensar siempre se hace bastante "en contra de lo que hay" aunque esto esté más o menos difuminado por una, la nuestra, realidad educativo-cultural.
Por todo esto y porque la teoría de las categorías unifica y puede ayudar a objetivizar y organizar el pensamiento, son importantes los fundamentos de las matemáticas y en concreto esta teoría basada en el eterno y simple concepto de relación: atañen al estatus de "lo objetivo".
Ahora sigamos con nuestra época y las matemáticas, dejemos el eternamente sorprendente y moderno "Real".
El trabajo de un matemático se puede desarrollar -creemos que se debería desarrollar siempre- en principio y para mayor "progreso" y mejor "educación", en dos ámbitos interrelacionados:
1.- Fundamentos de la matemática (conjuntos, lógica, y ahora categorías, etc...).
2.- Dentro de una o varias "especialidades matemáticas".
La teoría de las categorías, a la vez que una especialidad matemática enorme, es la continuación, --muy curiosa-- de la revolución en fundamentos que se produjo con los "conjuntos", las "estructuras", (Cantor, Dedekind...). Los conjuntos son y han sido muy útiles para esa labor fundamental: nombrar "conceptos básicos" que antes nadie nombraba pero que todos, en cierto modo, ya usábamos. Pero con los conjuntos podemos decir que se tenía cierta "fundamentación" desde abajo. Con las categorías se hace, de entrada y también, "desde arriba". Objetivizamos las relaciones, las estructuramos a nivel muy básico.
Para explicar un poco más sobre categorías nos vamos a servir de los conjuntos.
Si os dáis cuenta un conjunto, es, de entrada, "un" conjunto, (remarca la palabra "un" en tu cabeza), esto es, cierto "uno". Un conjunto es "hacer uno" de algo. Pero... ¿y ese algo? ¿Qué tienen los conjuntos? Pues más "unos": se dice que constan de "elementos", "puntos". Hacemos conjuntos de objetos, de personas, de lo que sea (¡casi!), esto es, hacemos más y más "unos".
Así que como véis los conjuntos dependen en cierto modo del "número", que ¡no lo es todo en matemáticas!
Que el número NO sea "todo" lo que hay en matemáticas, se nos ha hecho, si cabe, más patente con la teoría de las categorías. De una manera más fundamental hemos comprobado que no sólo existe el "hacer uno". También existe el "hacer relación". El hacer "flecha", el relacionar. Parece una tontería, claro, pero cuidado, estamos en matemáticas, por lo que debe existir cierta "estructura" básica (que va a estar omnipresente en matemáticas): al igual que hablábamos de "conjuntos" como cierta cierta forma de estructurar, de hablar, de dar vida al hecho de "hacer uno", una categoría es en cierto modo lo equivalente, es la "estructura" que buscamos para nuestro "hacer relación", hacer uno de algo que no sea sólo un miserable punto, que sea al menos ¡una --miserable-- flecha!
Una categoría es la estructura donde más natural y básicamente se "encuadra" la capacidad de hacer relaciones. Y es un concepto bastante simple, en serio, aunque, por la falta de costumbre no es tanto como el de conjunto. Una categoría tiene que tener, como tenían los conjuntos, objetos, ciertos "elementos" que vamos a llamar
Pero lo importante en una categoría son las:
Y cada flecha,
tiene asignado un objeto (di por ejemplo "A") de "origen" (dominio) y otro objeto (di por ejemplo "B") de llegada (codominio). Esto casi es lo mismo que tenemos en la definición de "función", "aplicación". Si no os han contado alguna vez las funciones mirad más abajo en el ejemplo de categoría que vamos a poner.
Las reglas que cumplen las flechas en cada categoría son, básicamente:
"f" : A -----> B,
"g" : B -----> C
"h" : C -----> D,
será lo mismo "ir" de A a D pasando por la compuesta de g con h, (h · g), (que va de B a D) con lo que hacemos este "camino":
(h · g) · f
, que "ir" de A a D pasando por la compuesta de f con g:(g ·f), que va de B a C, haciendo este otro:
h · (g · f).
Esto es: (h · g) · f = h · (g · f)
A -----> A
Todo esto tiene que "conectar" bien. Pero más o menos hemos terminado de definir qué es una categoría. (Habría que poner un ejemplo, abajo lo intentamos con la categoría "conjuntos finitos").
Ahora sigamos esta introducción saltando a otra cosa.
Las categorías pueden ser vistas como los universos donde se hacen las matemáticas. Es por decirlo así una "pre-lógica" básica que se cumple en cada universo de "ser", en cada universo matemático (la matemática "dice" el ser en la "filosofía" que estamos manejando; para nosotros todo matemático maneja una "filosofía", por ejemplo cuando dicen ser simplemente "objetivos" (cierta "filosofía silenciosa, silenciada", podríamos decir)). Intentamos aquí iniciar la presentación de la utilidad de la "filosofía" que manejamos y queremos que no sea necesariamente la misma, ya que por lo que hemos visto hasta ahora, es común el que los matemáticos "no sepan hablar",y con perdón: no sepan "pensar". Es la tarea de todos/as el remediar en la medida en que podamos esta situación y aquí sólo hacemos un intento, muchas gracias si lo mejoráis y lo completáis, pero por favor, no intentéis simplemente desacreditar esta "explicitación" de cierta filosofía en ciernes. Más abajo podéis encontrar, antes de la traducción prometida, más explicaciones sobre esto.
Los universos matemáticos donde se muestra, se presenta, el aparecer matemático, tienen esos objetos y esas flechas, que llamamos en general "morfismos". Pero las categorías matemáticas a su vez se relacionan entre sí, los universos matemáticos se "conectan", ayudándonos así a estudiarlos (con lo que al final terminamos estudiando a veces más sus relaciones que cada universo en sí). Por ejemplo, este es el caso de la parte de las matemáticas que se llama "topología algebraica" (y que fue en lo que trabajaban los inventores de las categorías cuando se les ocurrió inventarlas). Esta disciplina es, primeramente, el estudio de la interrelación entre dos categorías, la de los espacios "topológicos" junto con cierta categoría "algebraica" (bien sea la de grupos, o anillos...). El lenguaje de esa interrelación es lo que se inventaron esos señores. Ellos tuvieron que inventar el concepto básico de categoría para hablar de la comunicación entre tales universos matemáticos. Hablar de "transformaciones naturales", funtores...
Pero han ocurrido otros acontecimientos notabilísimos y fundamentales tras estos primeros inventos. Giran en torno al nombre de Lawvere, en lo que concierne a fundamentos. Lawvere es otro matemático, en vida (2003), que es, por cierto, coautor de los pocos libros de iniciación que tenemos en estas teorías fundamentales. Incluso uno de estos libros se ha traducido al castellano ("Matemáticas Conceptuales: una primera introducción a categorías". Siglo XXI. 2002. Méjico).
Hay cierto tipo de categorías, los Topos, (cuya definición más básica es la dada por Lawvere (ver referencias abajo), y que éste matemático usa para su fantástica labor en fundamentos de la ciencia). Los topos ¡generalizan el comportamiento de la categoría "conjuntos finitos"! (fijarse, esta categoría, fabricada con los conjuntos, que va a dar cuenta de cómo nos aparece el universo "conjuntos finitos", como universo de flechas y objetos, ¡va a ser una categoría!, y de las más básicas que hay: a ella "reducimos" a veces muchas cosas):
La lógica contiene la posibilidad de decir que algo sea verdadero o falso. Por ejemplo, si tenemos una bolsa de bolitas, A, podemos preguntarnos cuáles de esas bolas cumplen cierta propiedad (ser rojas). Entonces, como véis, podéis asociar una cierta aplicación del conjunto A de bolas hacia un conjunto con dos elementos:
{ v , f}
, (v por "verdadero" y f por "falso"), y que podéis visualizar como una bolsa
que contiene dos bolas que llamamos "v" y "f". Esta aplicación lleva cada
bola roja en A hacia "v" y cada bola en A que sea de otro color hacia f
(contamos con que sus colores están bien diferenciados). Este es cierto "rasgo" de la lógica, que, como véis, hemos relacionado con lo que es importante para nuestro concepto de categoría y en la categoría en la que nos encontramos: la flecha, el morfismo.
Esto que acabamos de hacer aclara este hecho: a cada parte de un conjunto dado A, osea, la parte de un conjunto que cumple cierta propiedad ("ser la parte de A que consiste en todas sus bolas rojas"), podemos asociar ¡una, y sólo una! flecha hacia el conjunto { v, f }. Este conjunto se llama "objeto de valores de verdad", y como véis ¡pertenece a esta categoría concreta!: es simplemente el conjunto de dos bolas, ¡ el 2 !
{"verdadero", "falso"}
Acabamos de objetivar cierto rasgo de la lógica en una categoría; una categoría simple pero muy útil para suministrarnos "intuiciones", la de los "conjuntos finitos". Los demás conceptos de la lógica, los cuantificadores lógicos (el "existe", el "para todo"...), etc, tendrán su "objetivización" correspondiente, pero siempre en términos de lo que tenemos en nuestro universo, es decir, de flechas y objetos, por eso decimos "objetivar".
Ahora bien, y es cuando viene una idea curiosísima.
¿Y en otras categorías? ¿Se podrá hacer esto en todas?
¿En cuáles?
Esto es, ¿habría por ejemplo "objetos de valores de verdad" en otras?
Pues sí, para esto se han inventado un tipo de categorías, llamadas Topos. para que una categoría, para que cierto universo de relaciones, sea un topos, esto es, se comporte como la de conjuntos finitos (tenga un cierto "objeto de valores de verdad", etc...), debe cumplir ciertas "reglas", que cumple la categoría "conjuntos finitos" (sólo hemos "visto" la del "objeto de valores de verdad"). Pero cuidado, fijarse por ejemplo en que el objeto "valores de verdad" ¡no va a tener por qué ser el simple 2!, ya que ¿qué es 2 en otro universo matemático que no sea el de "conjuntos finitos"? Pensad que los objetos en otras categorías pueden ser cosas y son cosas muy distintas que "bolsas de bolitas". Los universos del ser-matemático, del ser, son algo muy loco --el ser está muy loco--, no son tan sencillos como "conjuntos finitos".
Así que en un topos --como vimos que ocurre en "conjuntos finitos"-- a toda parte de cierto objeto "A", a todo subobjeto de A, se le va a poder asociar una flecha desde el objeto del cual es subobjeto hacia el objeto "valores de verdad".
William Lawvere y los desarrolladores de estas teorías han permitido a un filósofo muy aclarador, francés, que también está vivo y se llama Alain Badiou, decir cosas como las siguientes en relación a la internalización de la lógica. (La lógica es cierta "dimensión" interna a cada universo matemático, en cada categoría que sea un Topos, y por cierto, cuando Badiou dice "ontología" es como si dijera "matemáticas"):
"Así se cumple el deseo de Aristóteles: que la lógica se prescriba ontológicamente. Prescripción ejercida, sin embargo, no a partir de la equivocidad del ser, sino, al contrario, a partir de su univocidad. Cosa que arrastra a la filosofía, sometida a la condición de las matemáticas, a repensar el ser según lo que a mi parecer es su programa contemporáneo: el de comprender cómo es posible que una situación cualquiera del ser sea a la vez multiplicidad pura en los linderos de la inconsistencia, e intrínseca y sólida vinculación de su aparecer."
Aclaremos más. Gracias a la teoría de las categorías podemos hablar internamente (y matemáticamente, dándole un cierto ser) de la lógica. De una lógica que da cuenta del aparecer, en cada universo. Este aparecer tiene un ser, puesto que es matemáticas, la teoría de las categorías es matemáticas, es cierta "observación matemática desde fuera" del mundo de relaciones en un universo matemático; es una disciplina más de la ciencia del ser-en-tanto-que-ser, de la matemática. A la vez en cierto modo es lógica. Por eso se podrá decir: "la lógica se prescribe matemáticamente,ontológicamente". Y como también dice Badiou: "La teoría de los topoi da razón de la pluralidad de las lógicas posibles. (...), esta teoría es efectivamente, lógica matemática. Es decir, en el interior de la ontología, es ciencia del aparecer, ciencia de lo que significa que toda verdad del ser sea irremediablemente una verdad local".
(Se pueden ver estos textos en: "Breve tratado de ontología transitoria". Alain Badiou. Gedisa editorial. 2002)
El libro básico de Lawvere & Schanuel está traducido al castellano: Matemáticas conceptuales: una primera introducción a categorías, siglo XXI, 2002.
En internet existen gran cantidad de materiales en inglés sobre la teoría de las categorías. Podéis visitar y buscar con el Google páginas y textos más o menos divulgativos del propio Lawvere, del físico matemático John Báez... etc.
Tenéis hasta un libro descargable: "Toposes, triples and theories", de Barr & Wells, que es un tratado grueso sobre categorías y topos.
Iremos poniendo enlaces.