Conmutatividad
Sea G un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna ×, es decir una aplicación:
- G×G → G
- (x,y) → x×y
Se dice que × es conmutativa si verifica para todo (x,y) de G×G la igualdad x×y = y×x.
Ejemplos y contraejemplos:
- En el conjunto C de los números complejos, y por restricción, en el conjunto R de los números reales, la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones conmutativas.
- La suma en los espacios vectoriales.
- La suma de funciones.
- La reunión y la intersección en la teoría de los conjuntos y más generalmente la suma y el producto de las álgebras de Boole.
Por convención, si una operación se escribe con el símbolo +, siempre se supone que es conmutativa.
Esta convención no es válida para el producto × pues, por ejemplo, el producto de matrices no es conmutativo en dimensión superior a 1, ni el de los números cuaterniones.
Se generaliza el concepto a toda clase de aplicaciones de dos ó más variables, y se habla de "simetría" en vez de conmutatividad:
- f, función de dos variables es simétrica si para todo (x,y), f(x,y) = f(y,x).
- Una función de n variables es simétrica si no cambia su valor cuando se permuta sus argumentos:
g(x,y,z) = g(y,z,x) = g(z,x,y) = g(x,z,y) = g(z,y,x) = g(y,x,z) con tres variables.
Se puede formular la simetría de manera más abstracta: sea P el operador que permuta dos variables: P(x,y) = (y,x). Una función de dos variables es simétrica si fP = f (donde fP designa la composición de f y P, como en el cálculo lambda).
- En álgebra lineal, existe un concepto "opuesto": la antisimetría, propiedad que dice que la permutación de dos variables implica un cambio de signo: f(y,x) = - f(x,y).
Autor: M. Romero Schmidtke
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