La función dibujada más abajo está definida sobre [-6 ; 6], continua sobre [-6 , 1[ ∪ ]1 ; 6], es decir que no es continua en x = 1, porque f(1) = 4 mientras que el límite a la izquierda de 1 es 3, o sea, al pasar de 1^- a 1, la función ejecuta un salto:

Una función, f es continua en un intervalo I, si y sólo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

La función anterior es continua tanto en [-6 ; 1 [ como en ] 1 ; 6].

Las funciones polinomiales, las racionales, trigonométricas y sus recíprocas, las funciones raíces, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
Resulta sorprendente, pues que cuando se habla de función discontinua, siempre se piensa en la función inversa: , cuya curva es una hipérbola, compuesta por dos pedazos (para x < 0 y para x > 0 ).
Esta función no está definida en 0 y, por tanto, su dominio de definición es: ]- &infin,0[ ∪ ]0,+ ∞[, y en cada intervalo, ]-∞,0[ ó ]0,+∞[, es continua. Por consiguiente la función inversa es continua.

Lo mismo sucede con las otras funciones racionales: los puntos de aparente discontinuidad corresponden a valores de la variable que no pertenecen al dominio de definición de la función.

La función discontinua la más sencilla es la parte entera, E(x), que se define de la siguiente forma:

E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas.Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n; n+1) donde es constante.

Existen funciones que no son continuas en ningún punto: La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no. Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y = 0 , y una infinidad (menor) de puntos en la recta y = 1.

La definición exacta de la continuidad hace intervenir la topología de R, más concretamente los intervalos abiertos:

Si f(a)= b, la continuidad en a se expresa así: lim_x→a f(x) = b, parafraseando, cuando x se aproxima a a, f(x) se aproxima a b. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J centrado en b (en rojo en la figura), existe un intervalo abierto I centrado en a (en azul) tal que f(I) c J.
Si f ejecuta un salto (en el punto (c,d) de la figura) el teorema cae en falta: En efecto si se toma un intervalo J centrado en d (en amarillo) con un radio inferior al salto de f, todo intervalo I (en verde) alrededor de c, no importa cuan pequeño es, tiene una imagen que sale de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Autor: M.Romero Schmidtke

Derivabilidad implica continuidad

Si una función es derivable en x=a entonces es continua en x=a

Hipótesis: Existe f '(a)

Tesis: f(x) es continua en x=a

Demostración:

Teoremas sobre funciones continuas

1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a;b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en
3. Teorema del Valor Intermedio: Si f es continua en