En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.

Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo α, tendremos un vector definido por las variables r y α. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un angulo α en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.

(si trabajamos en el espacio, tenemos (x,y,z) como variables en las coordenadas cartesianas, y (r,α,z) en coordenadas polares Como pasar de un sistema de coordenas a otro).

Utilizando las propiedades de la trigonometría clásica,tenemos que

sin(α)= y/r ; cos(α)= x/r

En este caso pasamos de las coordenadas cartesianas a polares.

Para pasar de polares a cartesianas, emplearemos el teorema de Pitágoras

(a² + b² = c²) (la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa)

Para calcular α, basta calcular el arco seno de y/r, de donde obtendremos dos valores de α, lo mismo para el arco coseno de x/r, con otros dos valores. El valor que aparece en ambas ecuaciones es el ángulo α buscado.