1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.

La multiplicación de los cuaterniones no es conmutativa: ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j. Los cuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico, una estructura algebráica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multimplicación. La multplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso. Forman un álgebra asociativa 4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella, los cuaterniones no forman un álgebra asociativa sobre los complejos.

El valor absoluto de un cuaternión z = a + bi + cj + dk queda definido por |z|² = a² + b² + c² + d².

Usando la función distancia definida como d(z,w) = |z - w|, los cuaterniones forman un espacio métrico y todas las operaciones aritméticas son continuas.

También tenemos que |zw| = |z| |w| para cualesquiera cuaterniones z y w.

Usando como norma el valor absoluto, los cuateriones conforman un álgebra de Banach real.

El conjunto de los cuaterniones de valor absoluto 1 forman una esfera 3-dimensional S³ y un grupo (incluso grupo de Lie) con la multiplicación. Este grupo actúa, mediante conjugación, sobre la copia de R³ constituida por los cuaterniones cuya parte real es cero. No es difícil comprobar que la conjugación por un cuaternión unidad de parte real cos t es una rotación de ángulo 2t con el eje de giro en la dirección de la parte imaginaria. Así, S³ constituye un recubrimiento doble del grupo SO(3) de matrices ortogonales 3x3 de determinante 1; es isomorfo a SU(2), el grupo de matrices 2x2 complejas unitarias y de determinante unidad.

Para más detalles sobre la rotación en el espacio mediante los cuaterniones, véase cuaterniones y rotación en el espacio

Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a + bi + cj + dk donde a, b, c y d son, o todos enteros o todos racionales con numerador impar y denominador 2. El conjunto A es un anillo y un retículo . Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo y son los vértices de un politopo regular, llamado {3,4,3} en la notación de Schlafli.

Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional. Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler), más compacta y más rápida que las matrices.

Table of contents

1 Representación matricial de los cuaterniones 2 Historia 3 Generalizaciones

Representación matricial de los cuaterniones

Hay, al menos, dos maneras de representar cuaterniones con matrices.

La primera es utilizar matrices complejas de 2x2 dimensiones; la otra, utilizar matrices reales de 4x4.

Usando la primera forma, el cuaternión a + bi + cj + dk se representa:

[ a-di -b+ci ]

[ b+ci  a+di ]

De la segunda manera, el cuaternión a + bi + cj + dk posee el siguiente aspecto:

[  a -b  d -c ] 

[  b  a -c -d ]

[ -d  c  a -b ]

[  c  d  b  a ]

Los cuaterniones fueron descubiertos por William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un plano) a un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. Según una historia relatada por el propio Hamilton, la solución al problema que le ocupaba le sobrevino un día que estaba paseando con su esposa, bajo la forma de la ecuación: i² = j² = k² = ijk = -1. Inmediatamente, grabó esta expresión en el lateral del puente de Brougham, que estaba muy cerca del lugar.

Hamilton popularizó los cuaterniones con varios libros, el último de los cuales, Elements of Quaternions, tenía 800 páginas y fue publicado poco después de su muerte.

Generalizaciones

Si F es un cuerpo cualquiera y a y b son elementos de F, se puede definir un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre F utilizando dos generadores, i y j, y las relaciones i² = a, j² = b e ij = -ji. Estas álgebras, o son isomorfas al álgebra de matrices 2x2 sobre F, o son álgebras de división sobre F, y se denominan álgebras de cuaterniones.

Ver también: Números hipercomplejos, Números complejos, Cuaterniones y rotación en el espacio.