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| Table of contents |
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2 Dos ejemplos 3 Fórmula general 4 Propiedades 5 Interés |
Se puede hablar del determinante de una matriz cuadrada, de una aplicación lineal (endomorfismo en dimensión finita) o de n vectores de un espacio de dimensión n. Todos estos dominios están relacionados. Lo lógico es empezar por la teoría, hablando de función sobre los vectores, y seguir por la práctica, el cálculo efectivo de determinantes.
Sea (e1, e2 ... en) la base canónica de E ≈ Kn.
El caso n = 1 carece totalmente de interés, veamos los casos n = 2 y lueg n = 3.
Una observación preliminar: una aplicación alterna es también antisimétrica.
En la base (e1, e2) de E, sea u = a·e1 + b·e2 y v = c·e1 + d·e2 dos vectores cualesquiera. De aquí en adelante, se notará det el determinante.
El raciocinio detallado del caso n = 3 permite la generalización.
Sea un valor cualquiera de n, y los vectores:
Excepto en casos sencillos, esta fórmula no resulta muy práctica a causa del número excesivo de permutaciones. Afortunadamente, existe una manera de desarrollar el determinante según una columna o una línea:
Es la fórmula de Laplace.
La propiedad algébraica fundamental del determinante es la siguiente:
Una matriz o una aplicación lineal es invertible si y sólo si su determinante no es nulo (en un cuerpo).
Autor: M.Romero Schmidtke
Definición
Sea K un cuerpo (en general, K = R o K = C ) y E un espacio vectorial sobre K, de dimensión finita n.
Una forma de En es una aplicación lineal de En hacia K. Como E es isomorfo a Kn, esta aplicación se puede escribir así:
Una aplicación de En es n-lineal si es lineal con relación a todos sus argumentos, es decir, si se hace variar un solo argumento, fijando los demás, la función varía de forma lineal.
Por ejemplo, la linealidad para con el vector número i se expresa mediante esta fórmula:
Una aplicación de En es alterna si es nula cada vez que hay dos argumentos iguales.
Por ejemplo, si con n = 3; f(u, v, u) = 0 porque el primer y el tercer vector son iguales.
Aquí hemos la definición exacta del determinante:
El determinante de E ( relativo a la base (e1, e2 ... en) ) es la única forma n-linear de En, alterna, y que toma el valor 1 en la base, es decir tal que f(e1, e2 ... en) = 1. Dos ejemplos
En efecto, con n = 2 por ejemplo:
Igualando los dos resultados se concluye que f(v, u) = - f(u,v), lo que es la antisimetría.
Si se disponen los vectores en columna, se constituye una matriz cuyo determinante se calcula por la regla de los productos cruzados:
Se procede de la misma manera en el caso n = 3; sin embargo, para eludir cálculos más largos, es preferible reflexionar antes de echarse a llenar hojas. 
Se toma tres vectores, u,v y w, y se les descomponen en la base (e1, e2, e3).
Al desarrollar el determinante, se tendrá que descartar todos los casos en que aparezcan varias veces el mismo vector. Quedarán pues sólo términos donde aparecen una vez los tres vectores de las base, mas en un orden cualquiera. Se dice que hay una permutación de e1, e2 y e3.
Por ejemplo: det(e3,e1,e2) = - det(e1,e3,e2) = det(e1,e2,e3) = 1, aplicando la antisimetría dos veces.
Al pasar del primer miembro al último, se ha multiplicado dos veces por -1, o sea una vez por (-1)2.
Este último factor es la firma de la permutación que envía (e1, e2,e3) en (e3, e1, e2).
El conjunto de las permutaciones (de tres elementos) se llama el grupo simétrico (de orden 3), S3. S3 tiene tres permutaciones pares, es decir de firma 1, y tres impares, de firma -1. Se nota ε(σ) o sgn(σ) la firma de la permutación σ (sgn como signature ,firma en francés, o signo).
Con todos estos datos, se puede hallar el determinante de orden 3:
El método de Sarrus consiste en escribir los tres vectores en columna y repetir las dos primeras líneas por debajo de la matriz; las permutaciones pares corresponden a las diagonales descendientes mientras que las impares corresponden a las ascendientes. Sobre cada diagonal se multiplican los números, y se suman o restan los productos.
Fórmula general
v1 = a 1,1e1 + a 2,1e2 + ... + a n,1en,
v2 = a 1,2e1 + a 2,2e2 + ... + a n,2en,
y así succesivamente hasta :
vn = a 1,ne1 + a 2,ne2 + ... + a n,nen.
Y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores v1, ... vn. A = (ai,j)1≤i,j≤n.
Propiedades
en términos de aplicaciones lineales, se escribe así:
Interés