Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:\n:ax2 + bx + c = 0,
donde a, b y c (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ.
I El caso general
Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.
En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y las siguientes identidades son válidas:\n:(a - b)( a + b) = a2 - b2\n:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Para resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0, es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:
\n:
Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1).\nEl número d es una de las dos raíces del discriminante Δ = b2 - 4ac.\nSe utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado.\nEn un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:
La igualdad: ax2 + bx + c = a(x - x0)(x - x1) da, al desarollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:\n: x0 + x1 = -b/a \n: x0 · x1 = c/a.
Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:\n::X2 - SX + P = 0 (S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1)
II El caso real
Si a,b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante Δ = b2 - 4ac :
- Si Δ ≥ 0, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:\n:
- Si Δ < 0, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de - Δ, multiplicado por i (que verifica i2 = -1), pues:\n::d2 = (i √(- Δ))2 = i2(- Δ) = - (- Δ) = Δ
y las soluciones son:
Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax2 + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:
III Interpretación geométrica
Siglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas).
El caso más común es: x2 + bx = c, con b y c positivos.
x2 es obviamente el área de un cuadrado de costado x, y bx la de un rectángulo de costados b y x.\n
Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con el propósito de construir un cuadrado mayor.
Luego se añade un pequeño cuadrado de costado b/2, para completar el cuadrado.
Para conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c.
El área del cuadrado es c + b2/4, por lo tanto su costado mide la raíz cuadrada de esta cantidad. Restandole b/2, obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).
Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambas positivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo + .
Autor: M.Romero Schmidtke
\nEcuación | Matemáticas
\n\n\n
Tagoror.com -
CineBSO -
Radioaficionados.net -
Tacoronte Guia -
Sector Linux -
Deranet
El contenido de Wikipedia se publica bajo la Licencia de Documentación Libre GNU.
Información Legal - Datos de Contacto
