La derivada de la función x →xn es x →n.xn-1.
Dividiendo por n y mirando al revés la relación anterior, se puede afirmar que una primitiva de x →xm es x →1/(m+1). xm+1 (con m = n - 1).
Este cálculo obviamente no es válido cunado m = - 1, porque no se podrá dividir por m + 1.
Por lo tanto la función inversa x →x-1 = 1/x es la unica función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
Pero esta función es contínua sobre ]0; + ∞[ lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre ] - ∞ ; 0[.
Se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x → 1/x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1.
En resumen: ln' x = 1/x , y ln 1 = 0.
ln es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva, y tiene límites infinitos en 0+ y en + ∞.
La tangente Te que pasa por el punto de abcisa e de la curva, pasa también por el origen.
La tangente T1 que pasa por el punto de abcisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x - 1.
La derivada de sugundo orden es ln"(x) = -1 / x2, siempre negativa, por lo tanto la función es concava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.
Ser una primitiva de la función inversa trae ciertas ventajas, como la propiedad fundamental:
- ln (ab) = ln a + ln b. (1) (con a>0 y b>0)
Esta propiedad fue la que permitió incialmente contruir la función. Cuando no existía las calculadoras, se hacía tablas de logaritmos cuyo propósito era hacer que calcular un producto fuese tan rápido como hallar una suma. En efecto, para calcular a por b, se miraba en la tabla ln a, ln b, se los sumaba, y se miraba el número cuyo logaritmo se aproximaba más a ln a + ln b.
La regla de cálculo utilizaba el mismo proceso.
Prueba: Sea f(x) = ln (ax) - ln x. Derivando: f'(x) = a·(1/ax) - 1/x = 1/x - 1/x = 0, lo que significa que f es constante en el intervalo (0, + ∞). En consecuencia f(b) = f(1), es decir:
ln ab - ln b = ln a -ln 1, o sea ln ab = ln a + ln b.
consecuencias:
- ln (1/a) = - ln a. (2)
En efecto, ln(a) + ln (1/a) = ln (a· 1/a) = ln 1 = 0.
- ln (a/b) = ln a - ln b. (3)
En efecto ln (a/b) = ln (a·1/b) = ln a + ln (1/b) = ln a - ln b.
- ln (an) = n.ln a. (4) , para cualquier valor real de n.
Esto se demuestra por inducción para todo n entero natural, y luego para todo n entero, con (2), y luego para todo n racional, utilizando (3). La continuidad del logaritmo hace que una relación cierta en los racionales es también válida en los reales, gracias a que Q es denso en R, lo que acaba la prueba.
Esta última relación permite resolver ciertas ecuaciones con la incógnita en el lugar de las potencias: ax = b tiene como solución x = lnb/lna cuando a ≠ 1, a>0 y b>0.
La función recíproca del logaritmo es la exponencial.
Se llama logaritmo de base a la función x → ln x/ln a.
Su recíproca es x → ax.
El logaritmo natural corresponde a la base e, puesto que ln e = 1.
En la práctica, se emplea mucho el logaritmo decimal, notado log (log 10 = 1), en ciencias que emplean abundantemente las matemáticas, como la química (medida de la acidez :pH...), y en física: medida de la luminosidad, del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), en electrónica...
