• 0 < a_k < b-1
• n es la suma de los a_kb^k, con k > 0.

1492 = 1000 + 400 + 90 + 2 = 1×1000 + 4×100 + 9×10 + 2×1 = 1x10³ + 4x10² + 9x10¹ + 2x10⁰ .

Para pasar de las unidades a las decenas, y de las decenas a las centenas, se mulptiplica por el mismo número, aquí diez, por eso se dice que el sistema es la numeración en base constante. Han existido históricamente numeraciónes en base variable, como la de los Sumerios, que empleaban una mezcla de base 60 y de base 10. Han legado al mundo actual el que una hora se divide en sesenta minutos, y no en diez o cien, y el que el círculo se divide en 360 = 6×60 grados, y no en cien o cuatrocientos (que tambien existe, pero no es tan común).

La desventaja de aquel sistema, era que multiplicar por 10 o 60 no resultaba fácil, pues no se puede secillamente mover las cifras (a la izquierda) y añadir una casilla vacía (un cero, que no se había inventado todavía) a la derecha.

Se ha empleado la númeración en base constante, con otras bases que diez, principalmente las bases cinco (los Aztecas) y veinte. Quedan rastros del empleo de la base veinte en algunos idiomas occidentales, como el francés (ochenta se dice quatre-vingts es decir cuatro veinte, ya que la palabra huitante sólo se emplea en Suiza), en danés (para los números 50, 60 y 70), en inglés (score, four scores para ochenta), y en latín (donde 18 no se decía 10 + 8 sino 20 - 2).

Obviamente, la elección de las bases 5, 10 o 20 se debe a causas biológicas, pues el hombre siempre contó con los dedos (hasta de los pies ).

Por la mitad del siglo pasado, se descubrió un interés descomunal por la base dos o base binaria, pues tiene la ventaja de necesitar solamente dos cifras, 0 y 1, lo que encaja bien con los dos estados de un circuito electrónico: sin corriente o con corriente. Reagrupando las cifras por cuatro o por cinco se obtiene la base hexadecimal (base dieciséis) y la base trenta y dos. Cuando se trabaja en una base superior a diez, se tiene que inventar nuevas cifras, para notar los números que van de diez a b-1 (b sigue siendo la base). Por ejemplo, cuando se emplea la base doce, se añade las cifras alfa y beta para diez y once. Para la base hexadecimal, la costumbre es utilizar las letras mayúsculas A, B, ... F.

Cuando mayor sea la base, más complicado es calcular en ella, pues se necesita aprender tablas (de multiplicación) más largas (con b² productos).

Cuando menor sea la base, más largos se vuelven la escritura de los números: por ejemplo, la escritura de un número en base binaria es ln 10/ ln 2 veces más larga que su esritura en base decimal, o sea 3,3 veces más, en promedio. (la longitud es proporcional al inverso del logaritmo de la base).

Todo número real se puede escribir en base b es decir descomponer en las potencias de b, las b^k, con k entero positivo o negativo. Por ejemplo, en base diez:

42,58 = 4x10¹ + 2x10¹ + 5x10^-1 + 8 10^-2.