Nótese el hecho de que todos los números naturales son divisibles por si mismos y 1 (excepto 0 en el caso de que se considere en este conjunto, pues ningún número es divisible entre 0).

El Teorema Fundamental de Aritmética establece que cualquier entero positivo puede representarse siempre como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única.

Table of contents

1 ¿Cuántos números primos existen? 2 Propiedades de los números primos 3 Clases de primos 4 Conjeturas sobre los números primos 5 Aplicaciones en Informática/Computación 6 Véase también 6.1 Páginas relacionadas 6.2 Enlaces externos

¿Cuántos números primos existen?

A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre la distribución de los mismos o la lista de primos que hay por debajo de cierto número.

Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes. Además se sabe que no hay límite para la distancia entre dos primos consecutivos, esto es, dado un número N, se puede encontrar dos números primos tales que entre ellos dos no hay otros números primos y su diferencia es mayor que N.

Aunque no se ha podido probar hasta la fecha, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p₁=p₂ + 2 (siendo p₁ y p₂ primos) o primos gemelos. Sí se ha probado que los únicos "primos trillizos" (primos de la forma p₁ = p₂ + 2 y p₂ = p₃ + 2) son 3, 5 y 7; y esto es así porque uno de los números p₁, p₂ y p₃ así definidos es múltiplo de 3, y por tanto compuesto cuando p₃>3.

Propiedades de los números primos

• Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides)
• Si p es primo y a es algún número entero, entonces a^p - a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat)
• Un número p es primo si y solo si el factorial (p - 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson)
• Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. (Postulado de Bertrand)
• En toda progresión aritmética a, a + q, a + 2q, a + 3q, ... , donde los enteros positivos a y q≥1 son primos entre sí, existen infinitos números (Teorema de Dirichlet).

• Número primo de Fermat (de forma 2²ⁿ + 1)
• Número primo de Mersenne (de forma M_p = 2^p - 1 donde p es primo)
• Número primo de Sophie Germain (un p primo tal que 2p + 1 es primo)
• Números primos gemelos (p y p+2 primos)

• Todo número par mayor o igual que 4 es suma de dos números primos. (Conjetura de Goldbach)
• Existen infinitos pares de números primos gemelos.
• Existen infinitos números primos de Fermat.
• Existen sólo 5 números primos de Fermat.
• Para cada n natural, existe algún número primo entre n² y (n + 1)².
• Existen infinitos números primos de la forma n² + 1
• La sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.

Aplicaciones en Informática/Computación

Los primos de Mersenne se encuentran entre los más grandes encontrados (hasta Noviembre de 2003) (2^20996011 - 1, más de seis millones de dígitos, descubierto el 17 de noviembre de 2003). Los grandes números primos, de más de mil dígitos, son llamados "titánicos". Existe un proyecto de computación distribuída en la dirección http://www.mersenne.org.

Véase también

• Informática/Computación
  • Criptografía
• Matemáticas

• The Prime Pages, en inglés