Se llama número racional a todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros,
con el divisor distinto de 0.
El conjunto de los racionales se nota Q, por "quotient", o sea "cociente" en varios idiomas europeos.
Este conjunto de números es superconjunto de los números enteros, de los números decimales, y es un subconjunto de
los números reales.
Los números racionales cumplen la propiedad de la densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre los dos en la recta real ( R).
Además, Q es denso en R, o sea que entre dos reales distintos, siempre cabe un racional.
Se pueden demostrar con facilidad que el cardinal de los números racionales es el mismo que el
de los enteros,lo que significa que no hay más racionales que enteros.
Los racionales se caracterizan por tener un desarollo decimal (o en cualquier base) periódico, es decir que la sucesión
de sus cifras decimales se repiten de manera regular.
Ejemplos:
1/7 = 0, 142857 142857 142857 ...
1/60 = 0, 01 6 6 6 6 6 6 6 ...
8/5 = 1, 6 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
En efecto, al dividir un entero por otro, (p.ej 1 por 7) sólo existen un número finito de restos posibles (en el ejemplo: 0,1,
2,3,4,5,6).
Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas.
A partir de ellas, el cálculo se repite igual.
1.................|7
1 0.............. | 0,142857 1...
..30
....20
......60
........40
..........50
............10
(En negrita,las posiciones que corresponden al mismo cálculo).
recíprocamente, todo número con un desarollo decimal periódico corresponde a un racional.
Ejemplo: Sea a = 12,345 67 67 67 67 67 ...
Se repiten dos cifras; multipliquemos a por 102 = 100.
100a = 1234, 567 67 67 67 67 ...
.....a = 12, 345 67 67 67 67 ...
Al sustraer, se va toda la parte periódica:
100a - a = 1222,22 luego a = 12222/9900.
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