Un número es trascendental si no es raiz de algún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros.
En este sentido, número trascendental es antonimo de número algebraico
Los números enteros no son trascendentales ya que el número entero, n, es raiz del polinomio,
- x - n.
Los números racionales tampoco lo son porque el número racional, a/b, es raiz del polinomio:
- bx - a.
Ciertos números irracionales no lo son. Por ejemplo la raíz cuadrada de dos es solución del polinomio:
- x2 - 2.
Sí lo son, entre otros, los siguientes números:
- e
- &pi
- 2√2 o, de forma más general, ab donde a ≠ 0,1 es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si ''ab es trascendental cuando a ≠ 0,1 es algebraico y b es irracional, sigue abierto.
- sen(1)
- ln(a) si a es positivo, racional y ≠ 1
- Γ(1/3) y Γ(1/4) (véase función Gamma
- Ω, Constante de Chaitin.
-
donde es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000...
El conjunto de los números algebraicos es contable mientras que el conjunto de todos los números reales es incontable, así que se puede decir que hay muchos más números trascendentales que algebraicos. Sin embargo, sólo se conocen unas pocas clases de números trascendentales. Es más, establecer si un número es trascendental o no no tiene nada de evidente. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler γ lo es, γ siendo el límite de:
- ln n - 1 - 1/2 - 1/3 - 1/4 ... - 1/n, cuando n → + ∞ .
La propiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendental o no.
La existencia de los números trascendentales fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, incluyendo la Constante de Liouville:
donde el n-ésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendental sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que &pi es trascendental. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentales.
El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendental.
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