Puntos cocíclicos
Definición: n puntos del plano son cocíclicos si existe un círculo que pase por todos ellos.
Para n = 1 y n = 2, siempre es el caso.\nPara n = 3, es equivalente decir que tres puntos son cocíclicos que decir que no son alineados.\nEsta noción sirve esencialmente para n = 4, pués existen muchas propiedades relativas a cuatro puntos cocíclicos.
Un segmento cuyas extremidades están en un círculo dado se llama cuerda de éste.
Notaremos el ángulo algebraico entre los vectores BA y BC.
\nTeorema 1: Ángulo al centro
Sean A, B y C tres puntos cocíclicos, y O el centro del círculo que pasa por A, B y C (O es el circuncentro, o centro del círculo circumscrito al triángulo).\nEntonces, si C y O están del mismo lado de la cuerda [AB], el ángulo es el doble del ángulo .
Si C cruza la cuerda, su ángulo se cambia por su suplementario.
Prueba:
Al completar la figura con el segmento [OC] se obtiene tres triángulos isósceles: AOB, AOC y BOC, porque OA = OB = OC (radio del círculo). Considerando ABC, se da la igualdad 2α + 2β + 2γ = π (radios).
= α + β por una parte, y por otra parte: = π - 2γ (triángulo AOB) = 2α + 2β (triángulo ABC) = 2(α + β ) = 2 .
En el segundo caso, = α + β , y 2α + 2β + 2γ = 2π (en el cuadrilátero OAC'B) lo que da al dividir por 2: = π - γ que es el suplementario de = γ.
Primera consecuencia:
Teorema 2:
En un cuadrilátero inscrito en un círculo, los ángulos opuestos son suplementarios.
Basta con tomar las diagonales como cuerdas, y aplicar el teorema precedente.
Segunda consecuencia:
Teorema 3: Ángulo constante
Sean A, B, C y D cuatro puntos cocíclicos, colocados en este orden en el círculo. Entonces tenemos la igualdad de ángulos: =
Prueba: Ambos ángulos miden el doble del ángulo al centro .
Dicho de otro modo, si se considera la cuerda [AB], y un punto móvil que recorre el círculo quedándose del mismo lado con relación a [AB], entonces el ángulo es constante. Se dice que se ve [AB] desde M bajo un ángulo constante.\nTomando otra cuerda, se obtiene otra igualdad: por ejemplo, con [BC]: = .
Una aplicación de todos estos teoremas se encuentra en la demostración relativa a la recta de Simson.
Autor: M.Romero Schmidtke
Tagoror.com -
CineBSO -
Radioaficionados.net -
Tacoronte Guia -
Sector Linux -
Deranet
El contenido de Wikipedia se publica bajo la Licencia de Documentación Libre GNU.
Información Legal - Datos de Contacto
