El interés de las sucesiones no salta a la vista, pues la noción de función las incluye. Sin embargo, hay que matizar esta afirmación.
Primero, una sucesión es un objeto más accesible e inmediato que una función. Por ejemplo, se puede presentar bajo la forma de una lista (infinita) de sus valores: p.ej: 0, 1, 4, 9, 16, 25, ... es la sucesión de los cuadrados de los naturales.
En segundo lugar, se puede definir una sucesión sin pasar por una función, aprovechandose de una propiedad de N que no existe en R: N tiene un elemento menor que todos los demás; 0, y cada elemento no nulo es el sucesor de otro. Se puede así definir los valores de u_n por inducción.
Los tipos de sucesiones más comunes son:

Las sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: u_n = u₀ + r.n, o por inducción:

• u₀ = a
• u_n+1 = u_n + r. r se denomina la razón de la sucesión.

ejemplo:

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el contexto:

Como caso particular, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.

À veces lo más difícil es encontrar el número de términos, para poder aplicar la fórmula. Si el primer término que sumar vale a, el último vale b, y la razón es r, entonces hay |b - a|/r + 1 términos en la suma.

Por ejemplo : S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 = ?
La razón es 7.
(2003 - 1492)/7 = 73, luego hay 74 términos, y la suma es:
74 × (1492 + 2003)/2 = 129 315.

Las sucesiones geometricas

Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n: u_n = b.rⁿ, o por inducción:

• u₀ = b
• u_n+1 = r·u_n. r es también la razón de la sucesión. A menudo se la denota q.

El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón.
Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monotona, y tiene un aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo exponencial de base r: u_n = b.rⁿ se prolonga en f(x) = b·r^x.
Se distinguen cuatro casos, como se ve en la figura siguiente; las ordenadas de los puntos negros son los valores de la sucesión, y la curva representa la función:

Si la razón es negativa, entonces la sucesión es oscilante. Se distinguen dos casos según si r es menor que -1 o no. El signo del primer término no modifica el aspecto general de la sucesión (cambiar de signo equivale a una simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho). Las potencias rⁿ con r negativo no se generalizan a los reales, salvo convención paritcular, y por lo tanto no existe una función natural que prolonga la sucesión. En la figura siguiente se ha multiplicado la función |r|^x por el factor cos πx para simular el cambio periódico de signo.

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:
si |r| > 1, no converge, y si |r| < 1, converge hacia cero.

Notemos q la razón, y supongamos q ≠ 1. Entonces la suma de números en progresión geométrica es dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas equivalentes:

Si |q| < 1, la suma de todos los términos de la sucesión es u₀/(1 - q).

Las sucesiones aritmeticogeométricas

Es, como lo indica su nombre, una mezcla de las dos definiciones anteriores: por inducción:

• w_n+1 = q.w_n + r.

si |q| > 1, w no converge (porque no lo hace v)

si |q| < 1, w converge hacia l (porque v tiende hacia 0).

Si uno suma los términos de una sucesión, se le llama una serie matemática. Se puede observar que aunque una sucesión converja, la serie obtenida por la suma no tiene que converger, por ejemplo en la serie harmónica Σ1/n.

Autor: M.Romero Schmidtke