Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Primera demostración:

Supongamos el triángulo de catetos a y b (formando un ángulo recto) y la hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b.

Si añadimos tres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar un posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a+b.

El área de éste cuadrado puede expresarse de dos maneras:

A = (a+b)2 = a2 + 2·a·b + b2

A = c2 + 4·(a·b/2) = c2 + 2·a·b

Igualando ambas expresiones:

a2 + 2·a·b + b2 = c2 + 2·a·b
y simplificando:
a2 + b2 = c2 , como queríamos demostrar.

Segunda demostración:

Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismísimo Pitágoras que empleó la figura siguiente:

Alrededor del triángulo ABC, se construyen tres cuadrados: el rojo, de área a2, el azul de área b2, y el bicolor verde anaranjado, de área c2.

- Los triángulos rectángulos ABC y HBC son semejantes (o similares) pues comparten el mismo ángulo B. Por lo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA, es decir a'/a = a/c (hoy en día , se diría que su valor es el seno de B). Por el producto cruzado: a2 = a'c, o sea que las áreas roja y anaranjada son iguales.

- De la misma manera, a partir de los triángulos ABC y HAC, se deduce que b'/b = b/c (sen A) y luego b2 = b'c, o sea que las áreas azul y verde son iguales.

Sumando las áreas roja y azul, obtenemos las áreas anaranjada y verde, es decir: a2 + b2 = a'c + b'c = (a' + b')c = c2

Esta prueba utiliza el teorema de Tales, un caso particular de los triángulos semejantes, teorema que sólo es válido en los espacios euclidianos (sin curvatura).

Geometría | Matemáticas

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