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Cualquier ecuación de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solución ya sea un número real o un número complejo. Posiblemente extrañe un poco que exista preocupación en este sentido pero lo que pasa es que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solución.
El teorema que dice que toda ecuación algebraica tiene por lo menos una solución, a pesar de ser uno de los más importantes resultados de las matemáticas permaneció por mucho tiempo sin demostrar.
En vista de su importancia se le conoce con el nombre de Teorema Fundamental del Álgebra.
La primera demostración fue dada por Jean Le Rond d'Alembert. Sin embargo, un punto en su demostración estaba defectuoso, y era que d' Alembert asumía como verdadero un resultado de Cálculo diferencial que no había sido demostrado y que se pudo demostrar hasta un siglo después de escribir d'Alembert su demostración.
Los exigentes y rigurosos matemáticos no permiten que sucedan cosas como la anterior, así que se considera como el primer "demostrador" de este teorema a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien asombraba a sus colegas; escribió no una, sino cuatro demostraciones diferentes de este teorema, ninguna de ellas es suficientemente elemental.
El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:
Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos , tiene exactamente n raíces, no forsozamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad.
Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo) X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2) tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raices.
En otras palabras, todo P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0 se puede factorizar completamente, así :
Desarrollo
an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0.
Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales: i es por construcción una raíz de X2+1.
Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quierra factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i e 1 (es decir con los a + bi) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos.
Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se puede salir de él buscando raices de polinomios, que es la operación algebraíca por excelencia.
Se tardarón dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en está labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas. En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido). Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo. Luego se factoriza la función P por X - r, done r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente P/(X-r), que es un polinomio de grado menor al de P. Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).