1) Segunda cuantización. Bosones y fermiones.

2) Cuantización del campo electromagnético libre. Los fotones.

1) Segunda cuantización

La segunda cuantización es una formulación de la mecánica cuántica que pone especialmente de relieve las propiedades estadísticas de las colecciones de estados y es, por tanto, muy útil en la mecánica cuántica de sistemas de muchas partículas idénticas. De acuerdo con el principio de indistinguibilidad, la función de ondas de un sistema de varias partículas idénticas tiene que ser totalmente simétrica o totalmente antisimétrica bajo el intercambio de dos partículas cualesquiera. De esta manera, la probabilidad de que una partícula A se encuentre en un estado P y al mismo tiempo otra partícula B en un estado Q es la misma que la probabilidad de que la partícula B se halle en el estado P y la partícula A en el estado Q, conforme a la idea de que las partículas idénticas no pueden distinguirse continuamente al no existir trayectorias objetivables ni estados que no se solapen entre sí.

Las partículas con funciones de onda simétricas se denominan bosones, mientras que las partículas con funciones de onda antisimétricas son los fermiones. Si estas últimas se encuentran en un estado constituido por el producto antisimetrizado de tantos estados individuales como partículas haya (un determinante de Slater), entonces verifican el principio de exclusión de Pauli de tal modo que dos fermiones no pueden encontrarse en el mismo estado individual puesto que en este caso el estado colectivo se anula. Existe además, una conexión espín-estadística, según la cual las partículas (simples como los electrones y los quarks o compuestas, como los nucleos, átomos, iones etc…) que tienen espín entero son bosones y las que tienen espín semientero son fermiones.

2) Cuantización del campo electromagnético libre.

Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético libre, esto es, en ausencia de cargas y corrientes, son:

y es sabido que describen la propagación de las ondas electromagnéticas.

De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, los campos eléctrico y magnético pueden expresarse en función de los potenciales escalar y vectorial:

Los potenciales no están unívocamente definidos por las ecuaciones de Maxwell, de tal modo que pueden someterse a cualquier transformación gauge del tipo:

De este modo, somos libres de escoger una función cualquiera de la posición y el tiempo para determinar los potenciales eligiendo un gauge. Si, por ejemplo, imponemos la siguiente condición (Gauge de Coulomb):

entonces siempre se puede determinar una función "f" con el objeto de que se satisfaga. En el gauge de Coulomb, el potencial escalar se reduce a un potencial electrostático independiente del tiempo, que no tiene interés para estudiar la propagación del campo y se elimina, mientras que el potencial vector verifica la ecuación de ondas junto con la condición de divergencia nula, es decir, se reduce a una onda transversal, cuyo desarrollo en ondas planas complejas es:

La suma de ondas se extiende sobre todos los vectores de onda y todas las polarizaciones. Por la condición de transversalidad, sólo existen dos direcciones posibles para el potencial vector de una onda plana independientes entre sí (es decir, dos polarizaciones de la onda), las cuales vienen dadas por dos vectores ortonormales perpendiculares a la dirección de propagación. c.c. significa "complejo conjugado" y se refiere a que para obtener un potencial vector real es necesario añadir al desarrollo en ondas planas complejas una suma igual pero conjugada.