La teoría de grupos estudia las propiedades de los grupos, y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificación de éstos.
Un grupo es es un magma (i.e. un par (A,*), donde A es un conjunto no vacío y * una ley de composición interna, esto es *:A×A--->A), verificando:
- a*(b*c)=(a*b)*c para cualesquiera a,b,c de A (asociatividad)
- En A existe un elemento denotado por 1 que cumple 1*a=a*1=a (elemento neutro)
- Para todo a de A existe a´ tal que a*a´=a´*a=1 (elemento inverso)
Un grupo donde se verifique a*b=b*a se dice abeliano o conmutativo.
Ejemplos:
- (R,+) es grupo abeliano. R es el conjunto de los números reales y + la suma usual.
- (R-{0},·) es grupo abeliano. (Notar que el cero no tiene inverso multiplicativo, por eso se lo excluye).
- (Zn,+) es grupo.
Un grupo es finito o infinito si el conjunto es finito o infinito. En nuestro ejemplo, los formados con R son infinitos y el formado con Zn es finito.
Ver también
