Núcleo (kernel) e imagen
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
- Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
- El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
dado que
Dados
Dados
- Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))
- O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
- La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
- El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))
Teorema de las dimensiones
- dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
- Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo
Clasificación de las transformaciones lineales
- Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
- Epimorfismo: Si es sobreyectiva.
- Isomorfismo: Si es biyectiva.
- Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio.
- Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.
Matriz asociada a una transformación lineal
- Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal
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