Definición
Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente iguales y sus lados homólogos proporcionales.
Corolarios:
- Si dos triángulos son iguales, son semejantes.
- Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
Propiedades de la semejanza
- Propiedad reflexiva, refleja o idéntica: Todo triángulo es semejante a sí mismo.
- Propiedad idéntica o simétrica: Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.
- Propiedad transitiva: Si un triángulo es semejante a otro, y este a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.
Teorema Fundamental de la Semejanza de Triángulos
Toda paralela a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.
H)
- ABC; r || BC
- r corta AB en L
- r corta BC en M
T)
- BLM ~ BAC
D)
Podrán presentarse 3 casos:
I - r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
- B=B por carácter reflejo
- BLM=A por ser correspondientes entre r || BC, secante AB
- BML=C por ser correspondientes entre r || BC, secante AC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:
Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:
Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en se obtiene:
- De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):
Luego de (1) y (2), resulta:
- BLM ~ BAC por definición de semejanza.
II - r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de orígen B que los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:
- BAC ~ BLM BLM ~ BAC por carácter simétrico.
III - r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de orígen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construído, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.
Quedan entonces BNO ~ BAC por el caso I, semejanza que llamaremos .
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
- BN=BM por construcción
- α=α' por ser opuestos por el vértice.
- β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario de la definición.
De y , y por carácter transitivo:
- BAC ~ BLM BLM ~ BAC
