Si a y b son dos puntos en la recta real entonces la distancia de a a b está dada por d(a, b) = |b - a|

Si por ejemplo b = 0 y a = 5, la expresión |-5| puede leerse como |-5| es la distancia del punto 5 al origen. Observando la recta numérica se llega a la conclusión que |-5| = 5. De la misma manera, si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.

Otro ejemplo. Si a = 5 y d(a, b) = 10, la ecuación |b - 5| = 10 puede leerse como b son los puntos cuya distancia al punto 5 es 10. Mirando en la recta numérica se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición son -5 y 15.

Utilizando el mismo razonamiento anterior, la inecuación |x - 5| < 10 puede leerse como x son los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 10. Mirando en la recta se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición pertenecen al intervalo (-5;15). A este intervalo abierto se lo denomina entorno de centro 5 y radio 10.

Resulta claro que tiene como conjunto solución al conjunto vacío porque no hay puntos en la recta numérica cuya distancia al origen sea menor que cero. Decir es lo mismo que decir que .

Dados dos puntos en expresados mediante coordenadas cartesianas A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) y haciendo uso del Teorema de Pitágoras se tiene que:

La función valor absoluto se define de la siguiente manera para los números reales:

Así, la función módulo o valor absoluto siempre toma valores no-negativos. Es una función par dado que f(-x) = f(x) y también es una función continua en , pero no derivable en x=0 puesto que tiene un pico o punto cuspidal en dicho punto. La derivada de la función módulo es la función signo.

Propiedades del valor absoluto

1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 si y sólo si x = 0.
4. |-x| = |x| y |x - a| = |a - x|
5. |x . y| = |x| . |y|
6. |x / y| = |x| / |y| (y ≠ 0)
7. Desigualdad triangular |x + a| ≤ |x| + |a| y |x - a| ≥ |x| - |a|
8. -|x| ≤ x ≤ |x|
9. |x| ≤ a si y sólo si -a ≤ x ≤ a