Addition

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L'addition est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. L'addition combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la somme ou le total. Additionner signifie ajouter en comptant. Le signe d'addition est le symbole « + ». Par exemple: on lit 2 + 3 = 5 comme «deux plus (et) trois font cinq».

Pour une définition de l'addition des nombres entiers naturels, voir l'addition dans .

Formellement, l'addition est une loi de composition interne sur un ensemble, notée +. Le plus souvent + désigne une loi commutative. La loi d'addition peut être associative, i.e.

Pour tous éléments x, y, z, (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z
Lorsque l'addition est associative, les parenthèses deviennent inutiles ; et quand nous additionnons un nombre fini d'éléments, la façon dont nous regroupons les éléments, n'a pas d'importance : nous obtenons toujours le même résultat. Et si de plus l'addition est commutative, l'ordre dans lequel nous plaçons les termes n'a pas d'importance non plus. L\'élément neutre pour l'addition est généralement noté 0 et est appelé zéro. Si vous ajoutez 0 à n'importe quel élément, alors vous obtenez cet élément. Quand l'addition est associative, un élément x symétrisable admet un unique symétrique, appelé opposé et se note habituellement -x.
pour tous éléments x et y, y+(-x) se note y-x
Ajouter l'opposé d'un nombre à un autre revient à retrancher le nombre à ce dernier. L'opération de soustraction peut se définir à partir de l'addition et de la notion d'opposé d'un nombre.

Les autres notations

Lorsque nous additionnons plusieurs termes donnés individuellement, nous pouvons utiliser + . Ainsi, la somme de 1, 2, et 4 s'écrit 1 + 2 + 4 = 7.

Mais si nous considérons n éléments d'un ensemble notés , alors la somme peut être écrite à l'aide de points de suspension pour marquer les termes manquants ou les parenthèses manquantes :

ou plus simplement si + est associative
Par exemple, 1 + 2 +... + 99 + 100 désigne la somme des nombres naturels de 1 à 100.

Alternativement, les sommes peuvent être écrites à l'aide du symbole sigma (lettre majuscule grecque sigma). Considérons les éléments , nous avons :

Et si de plus + est associative nous pouvons supprimer les parenthèses:
Sous le symbole Sigma, nous trouvons une variable muette i et une valeur de début m; au dessus de Sigma n représente la valeur de fin. Pour déterminer la somme, nous donnons successivement à i toutes les valeurs entières de m jusqu'à n et ajoutons au fur et à mesure le terme xi correspondant.

Exemple :

Dans le cas particulier où m=n, la somme précédente est une somme d'un seul terme et est égale à xm.

Si vous n'ajoutez aucun terme, alors la somme est nulle par convention, parce que zéro est l'élément neutre de l'addition. C'est ce que l'on appelle une somme vide. Ce cas dégénéré survient lorsque les valeurs de début et de fin du symbole Sigma vérifient m > n.

Nous pouvons aussi considérer des sommes infinies de termes; mais dans le cas des séries une telle somme correspond à une limite et la borne de fin est remplacée par le symbole . Cette notion est généralisée par les sommes de familles sommables.

Sommes utiles

Les relations suivantes sont des identités:

(somme d'une suite arithmétique)

pour x≠ 1, (voir series géométriques)

(voir coefficient binomial)

Voir aussi: Séries familles sommables table d'addition


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