L'addition des entiers naturels est l'opération arithmétique la plus élémentaire. Dans cet article, nous la définissons à partir des axiomes de Peano (voir entier naturel) et démontrons quelques propriétés élémentaires. L'ensemble des entiers naturels sera noté ; zéro est considéré comme un entier naturel.

Table of contents

1 Définition 1.1 Définition intuitive 1.2 Définition mathématique 1.2.1 Les axiomes 2 Propriétés 2.3 Preuve d'unicité 2.4 Preuve de l'associativité 2.5 Preuve de la commutativité

Définition

Définition intuitive

L'opération d'addition sur des entiers, permet de donner le nombre d'éléments présent dans un ensemble composé de deux sous ensemble, dont le nombre d'élément de chacun est connu.

Exemple deux bonbons réunis avec cinq bonbons font sept bonbons. On note: 2+5=7

Pour les addition de petits nombre une table d'addition peur être utilisée.

Pour les nombre plus grands, l'utilisation d'un algorithme est nécessaire. (niveau CP-CE1). Voir Faire une addition à la main

Définition mathématique

/* Cette définition est-elle spécifique aux entiers naturels ? */

L'opération d'addition, généralement écrite avec l'opérateur infixe +, est une fonction de

a + b = c

a et b sont appelées les opérandes, tandis que c est appelé la somme.

Par convention, a⁺ désigne le successeur de a est défini par les postulats de Peano.

Les axiomes

• a+0 = a
• a+(b⁺) = (a+b)⁺

Propriétés

• Unicité : (a+b) est unique. i.e. si (a.b) satisfait aussi à [AP1] et [AP2] alors (a.b)=(a+b).
• La loi d'associativité : (a+b)+c = a+(b+c)
• La loi de commutativité : a+b = b+a

Nous allons démontrer l'unicité par récurrence sur b.

Initialisation: pour tout a, (a.0) = a [d'après AP1] = (a+0) [d'après AP1]

Hypothèse de récurrence : pour tout a, (a.b)=(a+b)

(a.b⁺)

= (a.b)⁺ [d'après AP2]

= (a+b)⁺ [par hypothèse]

= (a+b⁺) [d'après AP2]

Nous allons prouver l'associativité par récurrence sur c.

Initialisation: pour tous a et b, (a+b)+0 = a+b [d'après AP1] = a+(b+0) [d'après AP1]

Hypothèse de récurrence: pour tous a et b, (a+b)+c = a+(b+c)

(a+b)+c⁺

= ((a+b)+c)⁺ [d'après AP2]

= (a+(b+c))⁺ [par hypothèse]

= a+(b+c)⁺ [d'après AP2]

= a+(b+c⁺) [d'après AP2]

Nous allons prouver la commutativité par récurrence sur b.

Initialisation: pour tout a, a+0=a=0+a et a+1=a⁺=1+a
La preuve de l'initialisation se fait par récurrence sur a.

Hypothèse de récurrence : pour tout a, a+b=b+a