L'Algèbre de Boole (nommée d'après George Boole) sert à décrire les raisonnements logiques, en exprimant un "état" en fonction de conditions. Par exemple :

vert = bleu ET jaune

Vert est "VRAI" SI il ya du bleu ET du jaune

décrocher = ( envie_de_répondre ET sonnerie ) OU envie_d'appeler

Décrocher est "VRAI" SI on entend la sonnerie ET que l'on envie de répondre OU SI l'on a envie d'appeler

Table of contents

1 Définitions 2 Table de vérité 3 Opérateurs Logiques: 4 Opérations: 4..1 Somme Logique ("OU", notée "+"): 4..2 Multiplication Logique ("ET", notée "."): 4..3 Inversion ("NON", notée "¯"): 5 Opérateurs composés 6 Voir aussi :

Définitions

• État: Le fait d'être "VRAI" ou "FAUX", égal à 1 ou égal à 0.
• Variable: C'est une variable qui a un état.
• Fonction: Elle est représentée par un groupe de variables reliées par des opérateurs logiques.

0 = lampe éteinte

1 = lampe allumée

Opérateurs Logiques:

• Il existe trois "opérateurs logiques" élémentaires:
  • ET : "." (un point)
  • OU : "+" (un plus)
  • NON : "¯" (une barre placée au dessus d'une variable ou d'un groupe de variables)

• Ils se lisent:
  • a . b = S <=> a ET b est égal à S.
  • a + b = S <=> a OU b est égal à S.
  • se lit "a BARRE" et compte comme l'inverse de a. (0 si a=1, 1 si a=0)

• Explication de la notation . et + :
  • Le OU (opération +) est une opération (en fait une loi de composition interne) dont 0 est l'élément neutre.
  • Le ET (opération .) est une opération (en fait une loi de composition interne) distributive et associative par rapport au OU.
  • L'ensemble des booléens munie de l'opération OU est un groupe commutatif.
  • L'ensemble des booléens munie de l'opération OU et de l'opération ET est donc un anneau. Sa relation additive est le OU et sa relation multiplicative est le ET.
  • Il n'est donc pas suprenant de noter le OU avec le symbole +, et le symbole ET avec le symbole ..

• ATTENTION:
  
  • Il ne faut pas confondre les opérateurs logiques avec les opérateurs d'addition de multiplication...
    
  • Pour simplifier l'écriture informatique le symbole NON est remplacé par le caractère | après la variable. Donc devient a|.

Somme Logique ("OU", notée "+"):

Il suffit qu'un des termes soit "VRAI" (=1) pour que l'expression soit "VRAIE" (=1).

Règles:

a + 0 = a

Explication :

Dans "a OU quelque_chose_d'impossible", seul "a" compte car l'impossible (le 0) n'arrive jammais et ne peut donc jamais rendre l'expression "VRAIE". Comme il n'est pas indispensable, il ne la rend pas non plus fausse.

a + 1 = 1

Explication :

"a OU quelque_chose_de_toujours_vrai" est toujours vrai. Car il suffit qu'une des deux conditions soit "VRAIE", et "1" l'est toujours.

Multiplication Logique ("ET", notée "."):

Il faut que les deux termes soient "VRAIS" (=1) pour que l'expression doit "VRAIE" (=1).

Règles :

a . 1 = a

Explication :

Comme "1" est toujours "VRAI" (=1), on ne se préoccupe pas de son état, mais seulement de celui de "a".

a . 0 = 0

Explication :

Comme "0" est toujours "FAUX" (=0), il est impossible que les deux termes soient vrais.

Inversion ("NON", notée "¯"):

a = ( 1 . 0 ) |
a = [ 1 . 0 = 0 ]
a = 0|
a = 1

Table de vérité

a	valeur de non a
0	1
1	0

Priorité:

Pour faciliter leur compréhension, il a été décidé que ces opérations seraient soumises aux même règles que les opérations "de tous les jours", la fonction ET (multiplication logique) est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU (comme logique); on peut, pour s'aider, placer des parenthèses dans les opérations.

Exemple :

{ a = 0 ; b = 1 ; c = 1 }

On cherche a . b + c = ???

D'abord on calcule a . b:

a . b = 0 . 1

0 . 1 = 0

Puis, on calcule 0 + c:

0 + c = c

c = 1

Le résultat final est donc:

a . b + c = 1

Il s'agit de règles permettant d'aboutir à autre manière de décrire la situation. Par exemple, il est plus facile de dire que "la lumière doit être allumée" que "la lumière ne doit pas être éteinte".

Commutativité:

Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles: ( a + b ) + c = a + b + c
( a . b ) . c = a . b . c

Distributivité:

Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer: a . ( b + c ) = a . b + a . c
a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Idempotence:

a + a + a [...] = a
a . a . a [...] = a

Complémentarité:

a|| = a

("La lumière ne doit pas n'être pas allumée" = "la lumière doit être allumée")

("VRAI" SI lumière_est_allumée OU SI lumière_n'est_pas_allumée -> toujours le cas -> toujours VRAI)

("VRAI" SI lumière_est_allumée ET SI lumière_est_éteinte -> impossible -> toujours FAUX)

( a + b )| = a| . b|

Dans les deux cas, l'équation ne sera VRAIE que si a et b sont fausses.

Dans les deux cas, l'équation ne sera VRAIE que si a ou b sont fausses.

Voir aussi :