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| Table of contents |
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2 Angles dans l'espace 3 Définition abstraite 4 Usage des angles 5 Voir |
Lorsque deux droites se croisent, on peut définir quatre portions de plan compris entre deux droites et leur intersection : ce sont les secteurs angulaires. Si les droites sont confondues, cela ne définit que deux secteurs angulaires. Un secteur angulaire est l'intersection des deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.
L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel qui mesure la proportion du secteur angulaire par rapport au plan total. C'est l'ouverture du secteur angulaire, c'est-à-dire la "vitesse" à laquelle s'éloignent les droites l'une de l'autre lorsque l'on s'éloigne du point d'intersection ; c'est l'inclinaison d'une droite par rapport à l'autre. Les angles sont en général notés par une lettre grèque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ... Lorsque l'angle est au sommet un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté (notamment que lorsque les angles ne sont pas orientés), on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.
Pour évaluer cet angle, cette "proportion de surface", on prend un disque centré au point d'intersection, et on fait le rapport entre l'aire du disque comprise dans le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut en fait montrer que cela revient à faire le rapport entre la longueur de l'arc délimité par les droite et la circonférence du cercle ; cette valeur est appelée nombre de tour.
L'unité internationale de mesure des angles est le radian, et est défini comme le rapport entre la circonférence du cercle délimité et le rayon du cercle.
On utilise fréquemment le degré car les nombres utilisés se manipulent plus facilement (et plus rarement les grades).
Si les droites divisent le plan en quatre secteurs égaux, elles sont dites "orthogonales" ou "perpendiculaires", l'angle (ou le secteur angulaire) est dit droit, il représente un quart de tour et vaut &pi/2 rad ou 90 °.
Si les droites sont confondues, l'angle (ou le secteur angulaire) est dit plat, il représente un demi-tour et vaut π rad ou 180 °.
Un tour complet (le secteur angulaire est le plan complet) vaut 2π rad ou 360 °
Les angles des secteurs angulaires opposés sont égaux. Les angles des secteurs angulaires adjacents sont dits supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme fait un angle plat. Si la réunion de deux secteurs angulaires adjacent forme un quart de plan, les angles sont dits complémentaires ; leur somme fait un angle droit. La somme des quatre secteurs angulaire est un "tour complet", qui vaut 2π rad ou 360 °.
Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des vecteurs, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites oudes vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.
Dans le cas de trois points A, B et C non confondus, l'angle défini par les demi-droites [AB) et [AC) est noté . Dans le cas de deux vecteurs et , l'angle défini par ces vecteurs est noté .
Si le plan est orienté, alors les angles peuvent être positifs ou négatifs selon le sens dans lequel ils "tournent". par convention, on oriente le plan dans le sens dit "trigonométrique", c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou "sens anti-horaire"). Si l'on considère deux demi-droites ou vecteurs, alors l'ordre dans lequel on cite les demi-droites ou les vecteurs définit le sens de l'angle, donc son signe ; ainsi :
Les angles sont définis à un nombre de tour entier près. Ainsi, le plan complet peut être défini par un tour complet dans le sens positif, deux tours complets dans le sens positif, un tour complet dans le sens négatif... En radians, on dit que les angles sont définis à deux pi près. Par exemple, si l'angle α est droit, il est noté :
Note : On confond féquemment les termes "angle" et "secteur angulaire".
Deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires, donc l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. Pour orienter la plan, on choisit un vecteur normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique lorsque le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si l'on a défini une base dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal .
Pour définir l'angle entre deux plans, on considère l'angle que font leurs vecteurs normaux.
Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 - β en radians).
On définit également les angles solides : on prend un point (parfois appelé "point d'observation") et une surface dans l'espace (la "surface observée"), l'angle solide est la proportion de l'espace délimitée par la cône ayant pour sommet le point considéré et s'appuyant sur le contour de la surface. L'unité est le stéradian (sr en abrégé), l'espace complet fait 4π sr.
Les angles sont définis à partir de classes d'équivalences de la manière suivante :
Les isométries de déterminant 1 (dites "positives") transforment un vecteur unité (de norme 1) en un autre vecteur unité. Pour un couple de vecteurs unités donné, il existe une isométrie positive f transformant en , on a
Nous appelons angle θ la classe d'équivalence de ce couple, l'isométrie associée est la rotation d'angle θ.
Définition à revoir, à compléter et à illustrer
Géométrie euclidienne, Géométrie vectorielle, Trigonométrie
Angles dans le plan
Secteurs angulaires : intersection des demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues
Définition des angles par la proportion d'une portion de disque centré sur l'intersection des droites
Définition du radian, unité de mesure de l'angle
Définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires
Angles orientés : l'orientation du plan permet de donner un signe à l'angle ; l'illustration souligne l'égalité entre α et α-2π (voir ci-dessous
ou bien
On remarque notamment que pour deux demi-droites (ou deux vecteurs) données, le fait de choisir la "petite" ou la "grande" portion de plan importe peu, puisque α = α - 2π (cf. illustration ci-dessus).Angles dans l'espace
Orientation d'un plan par un vecteur normalDéfinition abstraite
Dans le plan euclidien usuel (normé), on définit les isométries, transformations du plan conservant la norme des vecteurs, c'est-à-dire les isométries ont un déterminant égal à 1 ou -1.
Soit une autre isométrie positive g et et deux autres vecteurs tels que
Nous pouvons démontrer que
et que l'ensemble des couples de vecteurs unités vérifiant
est une classe d'équivalence sur f, chaque isométrie f détermine une classe d'équivalence.Usage des angles
Par ailleurs, la notion d'angle permet de définir une unité de longueur, le parsec
Notes
Voir