En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ». L'application réciproque permet de retrouver un élément à partir de son image par une application donnée; autrement dit une application réciproque défait ce que l'application originale a fait.

Par exemple, si nous considérons la fonction x → 3x + 2, alors sont application réciproque est x → (x - 2) / 3. Ce qui s'écrit habituellement :

f : x → 3x + 2

f ^-1 : x → (x - 2) / 3

En fait, pour qu'une fonction f admette une application réciproque, elle doit être bijective.

• chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint par f : sinon il n'y aurait pas de moyen de définir l'image par f^-1 de certains éléments.
• chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint une seule fois par f : sinon l'application réciproque enverrait cet élément sur plus qu'une seule valeur.

pour tout x de X, f^-1(f(x)) = x, car f(x) a pour unique antécédent x

pour tout y dans Y, f(f^-1(y)) = y, car f envoie l'unique antécédent de y sur y.

Il est possible de définir l'application réciproque d'une fonction pas forcément bijective, en considérant l'application g de même ensemble de définition que f dont l'ensemble d'arrivée est restreint à l'image de f et qui envoie un élément sur l'image de cet élément par f; l'application réciproque est alors l'application multiforme qui à un élément de l'image de f associe ses antécédents par f.

Soient I et J deux parties de et une fonction bijective. Si nous représentons graphiquement la fonction f dans un repère cartésien, alors le graphe de f ^-1 est le symétrique orthogonal de celui de f par rapport à la droite d'équation y = x.

Algébriquement, nous déterminons l'application réciproque de f en résolvant l'équation

y = f(x)

y = f ^-1(x).