La constante mathématique (parfois appelée constante de Néper du nom du mathématicien écossais John Napier qui introduisit les logarithmes) est la base des logarithmes naturels. Le nombre e appelé nombre exponentiel par Euler en 1761, vaut approximativement
- e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 .....
e est égal à exp(1) où exp est la fonction exponentielle et est ainsi égal à la limite :
-
et peut être aussi écrit comme une somme de série
-
Ici représente la factorielle de .
Le nombre e présente un intérêt parce que l'on peut montrer que
- pour tout réel x, (e à la puissance x);
donc par exemple, on a :
- ou encore
Le nombre e est un nombre irrationnel et même transcendant. L'irrationalité de e fut démontrée par Lambert en 1761 et plus tard par Euler. La preuve de la transcendance de e fut établie par Hermite en 1873.
Il a été conjecturé que e était un nombre normal ou aléatoire.
Il intervient (avec quelques autres constantes fondamentales) dans l'identité d'Euler :
-
Le développement en fraction continue de s'écrit sous la forme intéressante :
-
