La conjecture de Poincaré est un problème de topologie qui n’est toujours pas résolu. Ce problème est largement considéré comme le plus important de cette branche des mathématiques et est sans doute l’un des problèmes les plus connus.

La conjecture fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, et s’énonce ainsi:

Considérons une variété compacte V à 3 dimensions sans frontière. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial bien que V ne soit pas homéomorphe à une sphère de dimension 3 ?

Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : « mais cette question nous entraînerait trop loin».

Grossièrement parlant, cela signifie que si «un objet tridimensionnel» donné possède les mêmes propriétés que celles d’une sphère (notamment que toutes les boucles de celui-ci peuvent être resserrées en un point), alors il n’est juste qu’une «une déformation» d'une sphère. Notez que ni la sphère ni «l'objet tridimensionnel» donné ne peuvent être dessinés comme objets dans l'espace à trois dimensions ordinaire, puisqu'ils n'ont pas de frontière.

En l'an 2000 l'institut de mathématiques de Clay a mis à prix la conjecture de Poincaré et offre un prix de 1 000 000 $ pour sa solution; ce qui la condamne à être l'un des sept problèmes les plus recherchés du millénaire.

La conjecture a induit une longue liste de preuves fausses, et certaines d'entre elles ont mené à une meilleure compréhension de la topologie en petites dimensions.

Des conjectures analogues à celles de Poincaré dans des dimensions autres que 3 peuvent également être formulées:

toute variété compacte de dimension n qui est homotopiquement équivalente à la sphère unité est homéomorphe à la sphère unité.

La difficulté de la basse dimension en topologie est accentuée par le fait que tous les résultats analogues ont maintenant été prouvés :

• en dimension n=4 de loin la plus difficile, par Freedman en 1982
• en dimension n=5, par Zeeman en 1961
• en dimension n=6, par Stallings en 1962
• pour n≥7 par Samle en 1961 (il étendit sa démonstration à tout n≥5)

Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme la production d’une liste de toutes les variétés de dimension 3 à un homéomorphisme près (sans répétition). Une telle classification est équivalente à un algorithme de reconnaissance, qui pourrait vérifier si deux variétés de dimension 3 sont homéomorphes ou pas.

On peut considérer la conjecture de Poincaré comme un cas particulier de la conjecture de géométrisation de Thurston formulée il y a 25 ans. Cette dernière conjecture, si elle était prouvée, achèverait la question de classification des variétés de dimension 3. Les seules parties de la conjecture de géométrisation qu’il reste à démontrer, sont appelées la conjecture de «Hyperbolisation» et la conjecture d'«Elliptisation».

La conjecture d'«Elliptisation» déclare que toute variété de dimension 3 fermée avec un groupe fondamental fini a une géométrie sphérique, i.e. est couvert par la 3-sphère. La conjecture de Poincaré est exactement le sous cas quand le groupe fondamental est trivial.

Vers la fin de l’année 2002, des publications de Grisha Perelman de l'institut de mathématiques de Steklov, Saint Petersburg laissent penser qu’il pourrait avoir trouvé une preuve de la conjecture de géométrisation, mettant en œuvre un programme décrit plus tôt par Richard Hamilton. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux États-Unis. Sa preuve est toujours en cours de vérification.

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