algèbre abstraite
Liens à garder:
A définir: (certains concepts sont déjà définis sur théorie naïve des ensembles.
- Un ensemble est une collection d'objets
- définition de Cantor "a many that can be thought of as a one" -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout
- concepts de base (les éléments, les sous-ensembles, l'ensemble vide) -- théories "naïves" des ensembles
- les diagrammes de Venn
- Russel & Whitehead: reconstruction des mathématiques avec la notion de l'ensemble à la base
Paradoxe de Russell
Le mathématicien Bertrand Russell proposa en 1901 de considérer l'ensemble des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.
Soit M cet ensemble. Formellement, A est un élément de M si et seulement si A n'est pas un élément de lui-même.
Faisons l'hypothèse que M se contient lui-même, autrement dit que M est un élément de M. Cela est contradictoire avec la définition de M. On en déduit que M ne se contient pas lui-même. Mais dans ce cas, M est un ensemble qui n'est pas élément de lui-même et devrait à ce titre faire partie de M. Ainsi naît le paradoxe.
Il montre la contradiction de la théorie des ensembles au sens de Cantor, théorie dite naïve (théorie naïve des ensembles).
