La géométrie des Éléments d'Euclide n'utilise que la règle et le compas bien que les connaissances de son époque incluaient aussi des constructions approchées dites par neusis.
La règle permet de tracer des traits droits (droites, segments de droite), et le compas permet de rapporter des distances (et accessoirement de tracer des cercles). On peut noter ici que la règle n'est pas graduée ; on ne s'intéresse pas à la distance comme quantité de centimètres mais comme grandeur non numérique.
Le dessin est son propre étalon ; on peut aussi dire que les propriétés du dessin ne dépendent pas de son échelle.
Notons aussi que la lecture de la figure dans la géométrie euclidienne est vitale et donne des informations que ne donne pas le texte.

Table of contents

1 Objets géométriques 2 Axiomes d'Euclide 3 Constructions à la règle et au compas 4 Métrique 5 Figures géométriques 6 Voir aussi

Objets géométriques

La géométrie, comme toute science d'abstraction, définit des objets (attention, ces définitions sont naïves) :

• le point  on peut imager le point comme une tête d'épingle, il est en fait infiniment petit ; on le représente par une croix faite au crayon (l'intersection de deux droites sécantes est un point) ; on nomme en général les points par une lettre romaine majuscule, comme A, B...
• la droite : c'est un trait droit d'épaisseur nulle, comme un fil tendu extrêment mince ; la droite est le plus court trajet entre deux points ; on la représente par un trait de crayon droit ; on nommer la droite par une lettre romaine minuscule ou grecque majuscule (en général d ou Δ), mais si l'on connaît deux points distincts de la droite (par exemple A et B), on peut nommer la droite en mettant le nom de ces deux points entre parenthèse (on parle de la "droite (AB)") ;
• le segment de droite ; c'est une portion de droite comprise entre deux points ; on le represente par un trait droit délimité par deux petits traits perpendiculaires aux extrémités ; si A et B sont les points des extrémités, le segment est nommé en mettant ces noms entre crochets (on parle du "segment [AB]") ;
• la demi-droite : c'est la portion d'une droite qui se trouve d'un côté d'un point de la droite ; si A est le point de "départ" de la demi-droite et B un autre point de cette demi-droite, alors on la note [AB) ;
• le cercle est l'ensemble des points qui se situent à une même distance d'un point particulier appelé centre ; il est représenté par un rond avec une croix au milieu ; la croix localise le centre, le rond localise les points du cercle ; il est en général nommé par une lettre romaine majuscule (par exemple C).

Axiomes d'Euclide

• Par deux points distincts, il passe une droite unique
• Soit une droite d et un point M hors de cette droite ; il ne passe par M qu'une seule droite parallèle à d
• ...

Donc, si l'on sait construire la médiatrice, on sait donc déterminer le milieu d'un segment et tracer une perpendiculaire à une droite.

Pour cela, on ouvre le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis, on trace deux cercle avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (en fait, on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). Les deux intersections des deux cercles sont des points qui sont à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice.

Métrique

Longueurs, angles

Figures géométriques

La géométrie étudie des objets constitués de plusieurs segments

• triangle
• quadrilatère : trapèze, parallélogramme, losange, carré
• autres polygones