Les géométries non euclidiennes sont des théories géométriques remettant en cause les axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.

Elles sont issues de la volonté d'axiomatiser le V^e postulat qui semblait peu satisfaisant car trop complexe. Dans les Éléments d'Euclide, il ressemble à un théorème tout en étant bien un postulat : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits, et qu'on peut comprendre comme : Par un point il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

La droite d est la seule droite passant par le point M et parallèle à la droite D. Tout autre droite passant par M (comme par exemple les droites tracées en pointillée) est sécante avec D.

Cependant, durant de nombreux siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle à même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.

Table of contents

1 La géométrie hyperbolique 2 La géométrie elliptique 3 Voir aussi 4 Bibliographie 5 Liens externes

La géométrie hyperbolique

Nikolaï Lobatchevski, Félix Klein et Henri Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point.

Il existe une infinité de de droites qui comme d1, d2 et d3 passent par le point M et sont parallèles à la droite D.

Hormis le le V^e postulat, ces géomètres respectent toutes les autres définitions d'Euclide. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin rejoignait deux points sur la surface.

La géométrie elliptique

Riemann a montré un autre modèle de géométrie non-euclidienne, la géométrie elliptique. Dans ce cas par un point extérieur à une droite on ne peut mener aucune parallèle. Le modèle est très simple :

Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D.

• les points sont les paires de points antipodes d'une sphère.
• les droites sont les grands cercles (c'est à dire dire les cercles ayant le même centre que la sphére).

• géométrie euclidienne
• géométrie dans l'espace
• relativité générale

• Le géométricon, bande dessinée de la collection Les aventures d'Anselme Lanturlu, Jean-Pierre Petit, éd. Belin, site de Jean-Pierre Petit — noter que Jean-Pierre Petit est actuellement mis au ban de la communauté scientifique pour des prises de positions douteuse sur la vie extraterrestre et sa théorie de la magnétohydrodynamique, mais ses bandes dessinées sont au dessus de tout soupçon et possèdent des qualités pédagogiques remarquables