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À l'époque où l'imprimerie ne disposait pas encore des possibilités actuelles, il était malaisé de mettre des flèches au-dessus des lettres, les vecteurs étaient donc notés en caractère gras. Ceci est toujours adopté lorsque l'on veut faire ressortir le caractère général des vecteurs (c'est-à-dire s'abtraire du côté géométrique). Par ailleurs, dans la littéraure anglo-saxone, le produit vectoriel est noté × plutôt que ^. Ainsi, les deux notations ci-dessus sont équivalentes :
Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux vecteurs. Ces constructions géométriques ayant des propriétés commune avec les opérations sur les nombres (addition, multiplication), on adopte une notation similaire.
Le terme "scalaire" désigne ici un nombre réel.
Le produit d'un vecteur par un scalaire a
est un vecteur noté
On a
Notez que deux vecteurs sont colinéaires (parallèles) si et seulement si ils sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que .
La somme de deux vecteurs et est un vecteur, noté , qui est construit de la manière suivante :
On peut aussi le construire d'une autre manière :
Si l'on a trois points A, B et C, alors :
On a :
Si et sont deux vecteurs faisant un angle α,
on appel produit scalaire,
et on note ,
le nombre (réel) valant :
Cette opération a été introduite pour simplifier les calculs sur les projections orhtogonales.
En effet si vu est la longueur algébrique
de la projection de sur une droite orientée selon (vu est positif si la projection est dans le même sens que , négatif s'il est dans le sens opposé),
alors on a
Le produit scalaire est commutatif
Notons tout d'abord que deux vecteurs non-colinéaires et définissent un plan vectoriel ; un troisième vecteur est coplanaire aux deux précédents si et seulement si il peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux premiers, c'est-à-dire s'il existe deux réels a et b tels que
Trois vecteurs non coplanaires forment un trièdre.
Le trièdre est dit "direct" si on peut l'imager avec la main droite,
Une famille de vecteurs forme une base si aucun de ces vecteurs ne peut se déduire des autres par une combinaison linéaire (une telle famille est dite "libre"), et si tout vecteur de l'espace peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.
Dans le plan, une base est donc formée de deux vecteurs non-colinéaires (non-proportionnels) ; ces vecteurs sont souvent notés ou (e1,e2). Dans l'espace, il s'agit de trois vecteurs non coplanaires ; ces vecteurs sont souvent notés ou (e1,e2,e3).
Plaçons-nous dans l'espace. Un vecteur quelconque peut donc s'écrire
La base est dite orthonormée si les trois vecteurs sont orthogonaux entre eux et si leur norme vaut 1. Elle est dite directe si
Les premières considérations concernent toutes les bases y compris les bases qui ne sont pas orthonormées directes.
Si (xu,yu,zu) sont les composantes de et (xv,yv,zv) sont celles de , alors on a :
Un repère (du plan ou de l'espace) est la donnée d'une base et d'un point de référence, noté en général O. Nous allons supposer ici que la base utilisée pour les vecteurs est la même que celle utilisée pour le repère. Si les coordonnées du point A sont (xA,yA,zA) et celles du point B sont (xB,yB,zB), alors le vecteur a pour composantes :
Notations des vecteurs
Opérations sur les vecteurs dans le plan
Produit d'un vecteur par un scalaire
de même direction et sens de , mais dont la longueur vaut
Il s'agit d'une dilatation (si a >1) ou d'une contraction (si a <1), bref d'un homothétie de rapport a.
produit d'un vecteur par un scalaire a
1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires
mais il n'est pas commutatif : la notation n'a pas de sens.Somme de deux vecteurs
Il s'agit du troisième côté d'un triangle formé par les deux premiers vecteurs.
Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond à l'extrémité de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on utilise la méthode du parallélogramme.
Somme de deux vecteurs
on déduit de cela que
ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation
on a
L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé.est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. Le
l'addition des vecteurs est commutative
produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :
Produit scalaire de deux vecteurs
On note que si deux vecteurs sont orthogonaux (α = π/2 rad ou 90 °),
alors leur produit scalaire est nul.
Le produit scalaire est positif si l'angle est aigu, négatif si l'angle est obtus.
Ainsi, si la norme de vaut 1, alors la longueur algébrique de la projection orthogonale de sur la droite est . De la même manière, si uv est la longueur algébrique
de la projection de sur une droite orientée selon ,alors on a
Produit scalaire de deux vecteurs
il est distributif sur l'addition des vecteurs
le vecteur nul est l'élément absorbant du produit scalaire
le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est le carré de sa norme :
Opérations sur les vecteurs dans l'espace
Deux vecteurs étant toujours coplanaires, on peut définir dans l'espace les opérations "produit d'un vecteur par un scalaire", "somme de deux vecteurs" et "produit scalaire" de la même manière que dans le plan.étant le pouce, étant l'index et étant le majeur.
On définit le produit vectoriel de deux vecteurs et ,
et on note ,
comme étant le vecteur
Notez que si les vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel donne .
Produit vectorielBase
Définition d'une base
où xu, yu et zu sont des réels, nommés "coordonnées" ou "composantes" du vecteur. Notons que cette décomposition est unique. On peut aussi écrire sous la forme d'une matrice-colonne :
On utilise aussi fréquemment une autre notation des composantes, qui va souvent de pair avec l'autre notation pour la base :
On a évidemment
Types de base
Les base orthonormées directes sont les bases le plus souvent utilisée. Cependant, il est intéressant dans certains cas d'avoir une base "quelconque". Par exemple, dans un cristal, l'organisation des atomes définit une base "naturelle" (la maille) qui n'est pas nécessairement orthonormée. De même, lorsque l'on étudie la déformation des solides, les axes permettant d'exprimer les équations de la manière la plus simple ne sont pas toujours orthogonaux.
Base orthonormée directe et base quelconque, du plan et de l'espaceOpérations vectorielles et composantes
et
ou avec l'autre notation
Une base orthonormée est particulièrement intéressante pour calculer le produit scalaire :
(ceci peut aussi se déduire par le théorème de Pythagore). Avec l'autre notation, cela donne
Si de plus la base orthonormée est directe, cela simplifie le calcul du produit vectoriel. En effet, on a alors
ou avec l'autre notation
Il alors suffit de mettre côte à côte les deux matrices-colonne représentant les vecteurs, de rajouter une quatrième ligne comprenant la première composante (xu ou u1), et de soustraire les produits en croix des lignes deux par deux ; le resultat est placé dans la ligne n'intervenant pas dans le calcul. Par exemple le résultat du produit en croix entre les ligne x et y (les lignes 1 et 2) est placé dans la ligne z (ligne 3) de la matrice-colonne résultante.
Algorithme permettant de calculer simplement le produit vectoriel dans le cas d'une base orthonormée directeBase et repère
en particulier, on a
En utilisant l'autre notation, les coordonnées de A sont (a1,a2,a3) et celles du point B sont (b1,b2,b3), et le vecteur u = AB a pour composantes :
Voir aussi