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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre abstraite, la notion de groupe est une abstraction des opérations naturelles, telles que l'addition, la multiplication, ou la composition, lorsqu'elles sont inversibles. Cette notion permet de modéliser des situations qui se retrouvent dans beaucoup de disciplines, non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie et physique.
| Table of contents |
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2 Commutativité 3 Conventions 4 Exemples 5 Exponentiation par un entier, ordre d'un élément 6 Histoire 7 Voir aussi |
Définition
Un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles ; c'est-à-dire que c'est un ensemble muni d'une loi de composition interne qui satisfait les axiomes suivants:
Si deux éléments et d'un groupe vérifient , on dit alors qu'ils commutent.
Si en plus l'opération est commutative, c'est-à-dire si tous les éléments du groupe commutent entre eux, le groupe lui-même est dit commutatif, ou abélien.
Attention : en général, les groupes ne vérifient pas cette propriété ! Il faut donc prendre garde à l'ordre dans lequel on écrit les produits!
L'ensemble et le groupe lui-même sont le plus souvent confondus, et tous les deux notés par le même symbole, en négligeant de préciser de quelle loi de groupe on parle (le contexte est souvent assez explicite).
Pour un groupe en général, la loi est souvent notée comme une multiplication; c'est-à-dire en écrivant pour , ce qui est plus léger. Dans ce cas, on note aussi l'élément neutre.
Cependant, quand le groupe est abélien, on préfère noter la loi , et l'élément neutre . Noter un groupe non-commutatif avec une loi est un interdit tacite!
Cette exponentiation vérifie les propriétés suivantes:
On dit qu'un élément d'un groupe est dit nilpotent s'il existe un entier tel que . Un élément est dit idempotent s'il existe un entier naturel tel que .
Si on se fixe , cette opération extérieure, avec ses propriétés, permet de définir un morphisme de groupes: , via: . Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe de . Il définit donc un entier ; si cet entier est nul, on dit que est d'ordre infini, sinon on dit qu'il est d'ordre .
Conventions
Exemples
Contre exemples:
Exponentiation par un entier, ordre d'un élément
Définition de l'exponentiation
On peut définir une opération extérieure des entiers relatifs sur tout groupe, de la façon suivante: étant donnés un entier, et un élément d'un groupe , on pose: (où apparaît fois à droite) si , si , et si . Il faut noter que cette nouvelle notation est compatible avec la notation pour l'inverse d'un élément!:
Attention: on n'a pour tous que si le groupe est commutatif! Cependant, si commutent, on a bien pour tout .Ordre d'un élément
Exemples
Histoire
La notion de groupe a été mise en évidence par Évariste Galois, qui cherchait à comprendre comment se comportent les racines des polynômes.Voir aussi