Un homéomorphisme entre deux espaces topologiques est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont l'inverse est aussi continu.

La notion d'homéomorphisme est donc la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont "le même" vu différemment. Un homéomorphisme est d'ailleurs un isomorphisme dans la catégorie des espaces topologiques.

En général, une application continue bijective n'a aucune raison d'avoir un inverse continu. Et il est très difficile, quand on a une application, d'étudier son inverse pour savoir s'il est continu. Néanmoins, il existe un célèbre cas particulier, magique, où les choses fonctionnent bien: