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| Table of contents |
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2 Inversion de l'image 3 La loi de la réflexion 4 miroir plan 5 Miroir courbe 6 Miroirs particuliers 7 Voir aussi |
Un miroir est une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme. C’est souvent une surface métallique, qui, pour être protégée, est placée sur une plaque de verre.
On peut se voir en utilisant le reflet à la surface de l’eau ou dans une vitre ; dans ce cas on a une reflexion partielle tandis qu'avec un miroir parfait la réflexion est totale.
On peut aussi obtenir de la réflexion totale lorsqu'un rayon passe d'un milieu d'indice de réfraction élevé vers un milieu d'indice faible, sous une incidence rasante ; par exemple lorsqu'un rayon passe de l'eau dans l'air, ou bien du verre dans l'air. Cette propriété est utilisée pour les Prismes à reflexion totale.
Lorsque l'on dit que la surface d'un miroir doit être polie, cela signifie que l'on ne doit voir aucun défaut, afin que la réflexion de l'onde se fasse dans la direction voulue. La taille du défaut visible est de l'ordre de la longueur d'onde de l'onde électromagnétique. Ainsi, avec la lumière visible, les défauts doivent être plus petit que 0,01 μm, ce qui est très contraignant. Par contre, avec les ondes utilisées par la télévision, le défaut doit être plus petit que 0,1 mm seulement, ce qui explique que les paraboles de télévision (qui sont des miroir permettant de concentrer, de focaliser les ondes émises par les satellites) soient rugueuses à l'œil et sous la main ; elles sont par contre parfaitement lisses pour les ondes hertziennes. Pour les radars, l'ordre de grandeur du défaut admissible est de l'ordre du cm, on peut donc utiliser un grillage comme miroir... De même que pour certain radiotélescopes.
On dit souvent que le miroir inverse la gauche et la droite. Cette formulation est inexacte, et amène des questions du type :
En fait, le miroir inverse le devant et le derrière (par rapport au plan réfléchissant du miroir). Ainsi, si l'on pose un miroir vertical, la partie réfléchissante regardant vers le Nord, et que vous vous tenez face au miroir : vous regardez vers le Sud, et votre image regarde vers le Nord. Mais si vous levez la main côté Ouest, c'est aussi la main côté Ouest de l'image qui se lève. En terme mathématique, l'image est la symétrie orthogonale de l'objet par rapport au plan du miroir (cf. plus bas).
La loi de la réflexion est un des fondements de l'optique géométrique ; elle a été découverte indépendamment à quelques années d'intervalle par Snell et Descartes. Elle indique que :
Cette loi permet de construire de manière géométrique la déviation des rayons, et la position de l′image, c'est-à-dire de l'objet fictif que semblent voir les yeux lorsqu'ils observent le reflet d'un objet réel un miroir, ou plutôt l'objet recomposé par le cerveau à partir de ce que reçoivent les yeux.
Définition d'un miroir
Vase se reflétant dans un miroirInversion de l'image
Mettez un miroir au sol, montez dessus, et vous verrez que le haut et le bas sont inversés... Il se trouve que par ailleurs, la gauche et la droite sont des notions qui dépendent de l'observateur. Ainsi si vous vous tenez face à une personne, votre bras gauche est de son côté droit. Par contre, le haut et le bas sont définis par la Terre et ne dépendent pas de l'observateur. C'est pour ces raisons qu'il vaut mieux éviter de parler d'inversion d'image en terme de gauche et droite.La loi de la réflexion
autrement dit :
Réflexion sur une surface : l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence
Le cerveau interprète les rayons comme s'ils venaient d'un objet fictif
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| Miroir plan de profil |
On dit que le miroir plan est parfaitement stigmatique pour tout point de l’espace.
Cette notion est simple si on utilise la géométrie et que l’on construit plusieurs rayons issus de A. On constate que ces rayons proviennent de l’image A’ après réflexion sur un miroir plan (ce n’est pas le cas avec la plupart des instruments d’optique qui fonctionnent dans des conditions de stigmatisme approché, appelées aussi les conditions de Gauss )
Dans le cas d'un miroir courbe, on considère localement le plan tangent à l'endroit de l'impact du rayon sur le miroir, et on applique la loi de la réflexion à ce plan tangent.
Le miroir est dit convexe si les rayons se réfléchissent à l'extérieur de la calotte (comme sur la figure ci-dessus), et concave si la réflexion se produit à l'intérieur de la calotte (comme sur la figure ci-dessous).
Notons que dans l'absolu, les miroirs courbes ne sont pas stigmatiques. En effet, les rayons partant d'un point ne se croisent pas tous au même point après avoir été réfléchis par le miroir, mise à part pour quelques points particulier (dans le cas du miroir sphérique, seuls le centre et les points du miroir donnent une "image unique"). Cependant, si l'on respecte les conditions de Gauss, c'est-à-dire :
Pour la distance, la notion de "proche" fait référence au rayon de courbure : la distance entre le sommet de la calotte située sur l'axe optique et le point d'impact du rayon est petit devant la courbure. Pour l'angle, dans le cas d'un miroir sphérique, cela signifie que l'angle α entre le rayon passant par le centre et la normale à l'impact du rayon vérifie : cos(α) est petit devant 1, ou plus précisément si ε désigne la distance entre le point émetteur A et le centre C, alors 2.(ε/r).cos(α)<<1.
Certains mirois courbes sont fréquemment utilisés en raison de leur propriétés particulières. Ce sont des miroirs dont la surface est obtenu en faisant tourner une conique (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) autour de leur axe (la surface s'appelle respectivement une sphère, un ellipsoïde de révolution, un paraboloïde de révolution et un hyperboloïde de révolution). La notion mathématique de foyer de la conique (point permettant, avec la droite directrice et l'excentricité, de caractériser la conique) ne recoupe en général pas celle de foyer en optique géométrique (point où convergent les rayons venant de l'infini après déviation), sauf dans le cas de la parabole. Les courbes génératrices étant soit fermées, soit d'extension infinies, les mirois réels sont donc des surfaces tronquées.
Un miroir sphérique est constitué d’une calotte sphérique, sa génératrice est un cercle.
La calote est une sphère tronquée par un plan, l'intersection de ce plan et de la sphère forme un cercle, qui est l′ouverture du miroir. L′axe du miroir est la droite normale à l'ouverture et passant par son centre.
Alors que le foyer au sens mathématique est le centre de la sphére, le foyer au sens optique se situe, dans le cas d'un miroir concave, sur l'axe du miroir à mi-chemin entre le rayon et la surface (tout rayon passant par le foyer est réfléchi parallèle à l'axe). De ce fait, les miroir sphériques sont parfois utilisés dans des porjecteur pour former un faisceau de lumière parallèle, ou bien dans les télescopes pour focaliser la lumière des étoiles.
Tout rayon lumineux passant par le centre est un rayon (au sens géométrique) de la sphère, il est donc perpendiculaire à la surface. Il va donc se réfléchir en gardant la même direction, c'est-à-dire qu'il va partir en sens inverse, suivant le même chemin. En raison de cette propriété, les miroirs sphériques concaves sont en général utilisés comme contre-miroir pour améliorer le rendement de projecteurs : les rayons issus de l'ampoule et partant directement vers l'avant sont "rabattus" vers le miroir principal (elliptique, parabolique ou sphérique) et contribuent donc au faisceau convergent ou parallèle.
Dans le cas par exemple d'un projecteur à miroir parabolique, sans contre-miroir (figure de gauche), une partie du faisceau se perd et forme un halo diffus qui ne contribue pas au faisceau parallèle ; ce halo s'étend lorsque l'on s'éloigne du projecteur, et l'intensité de ce halo diminue.
Avec un contre-miroir sphérique (figure de droite), tous les rayons sont récupérés, mais on a une tache sombre au centre. L'intensité récupérée par le contre-miroir est plus importante que l'intensité perdue dans la tache sombre ; par ailleurs, le faisceau n'étant pas parfaitement parallèle, la tache sombre s'estompe lorsque l'on s'éloigne du projecteur. Le réglage du contre-miroir est parfois délicat, sont usage n'est donc pas systématique.
Soit I le point de réflexion sur la calotte sphérique, la normale en ce point passe par le centre de C la calotte sphérique, et est la bissectrice du secteur angulaire formé par le rayon incident et le rayon réfléchi. Tout se passe dans le plan (IA, IC , IAi).
Tous les rayons sont devant le miroir et tout ce qui est derrière le miroir n’est pas réel, on dit virtuel et on le dessine en pointillés.
La tangente en I est la bissectrice extérieure. En géométrie, on montre que deux droites et leurs bissectrices forment un faisceau harmonique, on obtient sur une droite Ox coupant ces droites en T, A, C, et Ai, les formules suivantes.
En changeant de formalisme : CA = (a - c) = abscisse de l’extrémité - abscisse de l’origine, on a :
Aux petits angles, on remplace t par s et l’on est dans l’approximation dite de Gauss ou des petits angles.
Si on prend le milieu de [SC] comme origine, c’est-à-dire m = 0, on obtient
Ces formules permettent de calculer la position et la taille de l’image d’un objet AB placé en x.
En positionnant l’objet en différentes abscisses, c’est-à-dire que B se déplace sur une droite parallèle à l’axe qui coupe le miroir en I tel que SJ = AB, on constate que l’extrémité de l’image Bi se déplace sur la droite oblique passant par F et I. Cette droite est le lieu des Bi l’image de B.
Ces constatations permettent une construction géométrique de l’image.
Derrière le miroir tout est virtuel, il n’y aucun rayon ; les rayons virtuels sont représentés en pointillé. Devant le miroir, tout est réel. Les foyers objet et image sont confondus au milieu de SC.
L'image Bi du point B est à l’intersection de BC avec IF (I étant le point d'impact du rayon issu de B et parallèle à l'axe du miroir).
Miroir courbe
Réflexion sur un miroir courbe convexe, plan tangent au point d'impact
alors, on peut considérer que le miroir est quasimnent stigmatique.
Stigmatisme approché d'un miroir sphérique ; la figure de gauche montre qu'un point ne donne pas une image unique ; la figure de droite définit les notations utilisées ci-dessusMiroirs particuliers
Miroir parabolique
Miroir elliptique
Miroir sphérique
Projecteur à miroir parabolique : sans contre-miroir (figure de gauche), avec un contre-miroir sphérique (figure de droite)Formules
si on est aux petits angles (conditions de Gauss), on peut confondre T et S et alors :
Il y a là la seule formule à connaître sur les miroirs sphériques, les autres formules s’en déduisent par quelques transformations algébriques simples et en prenant des origines particulières en S, C …ou F.
en développant, on peut exprimer ai, l’abscisse du milieu de C et T, en fonction de a, c et t ; on obtient :
Cette relation est connue sous le nom de fonction homographique avec une asymptote horizontale ai = m lorsque a est grand, et une asymptote verticale lorsque a = m.
devient la formule
souvent écrite, en prenant comme origine S (s = 0) ou C (c = 0)
1 / a + 1 / a’ = 1 / m
mais cette dernière formule n'est valable que seulement si on peut confondre S et T , c’est-à-dire si on est aux petits angles. On dit aussi dans des conditions de stigmatisme approché ou encore dans les conditions de Gauss.
Donc pour un miroir sphérique, la position de l’image en fonction de la position de l’objet est donnée par
Le grandissement transversal est
et le grandissement longitudinal est
Remarque : l’image et les points concernant l’image sont parfois désignée par « ′ » (prime) et parfois par l'indice « i ».
De plus B, Bi et C sont alignés (rayon normal à la surface réfléchissante).Construction géométrique
Construction d'une image pour un miroir convexe (gauche) et concave (droite)
Schéma métrique, pour des raisons pratiques, la calotte est représentée planeRayons particuliers
Voir aussi
Optique - Lentille - Doublet - Stigmatisme - Focalisation (optique)