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La notation Bra-Ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l'écriture de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l'aspect vectoriel de l'objet représentant un état quantique (voir Axiomes de la mécanique quantique). Le nom provient d'un jeu de mot avec le terme bracket qui signifie "crochet de parenthèse", en l'occurence "<" et ">".
| Table of contents |
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2 Le 'bra' |
Deux kets forment un espace vectoriel linéaire. Ainsi, si λ1 et λ2 sont des nombres complexes quelconques,
Le 'ket'
Définition
Soit un vecteur de l'espace des états. Il est noté et s'appelle vecteur-ket ou ket.
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est un ket.
En allant plus loin, si dépend d'un indice continu ', et si ' est une fonction complexe, alors,
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est un ket.
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mais que
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(l'expression signifie que l'on prend le complexe conjugué de -- voir les nombres complexes)
Ce choix permet la définition d'une norme qui est positive. En effet, le produit d'un vecteur par lui même est égal au carré de sa norme:
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avec λ, une sorte de facteur d'échelle. Et d'où
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où sont les composantes de et appartiennent aux nombres complexes. On représente généralement un ket comme un vecteur colonne, une suite de nombres (les composantes) rangés verticalement:
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χ |φ> → λ = χ(φ) |
Cette fonctionnelle est linéaire, ce qui signifie que:
| χ(λ|ψ1>+μ|ψ2>) = χ(λ|ψ1>) + χ(μ|ψ2>) |
L'ensemble de ces fonctionelles linéaires constitue un espace vectoriel ε*,
dit espace Dual de ε. On appelle vecteur-bra ou bra un élément de cet ensemble et on le note
Cette nouvelle notation souligne en fait la relation qu'il existe entre bra, ket, et le
produit scalaire entre kets.
Prenons un ket |φ>. Son produit scalaire avec |ψ> donne un nombre λ. On a
ainsi défini une fonctionnelle linéaire qui à |ψ> fait correspondre un nombre complexe λ, à partir de |φ>:
Puisque cette fonctionnelle ce note <φ|, on écrit également:
Ceci nous amène à dire qu'à chaque ket, correspond un bra, tel que le produit
scalaire (|φ>,ψ>) s'écrive <φ|ψ>. Cette correspondance n'est cependant
absolument pas réciproque. Il existe des bras qui n'ont aucun "équivalent ket".
L'écriture <φ|ψ> revêt alors deux signification, l'une étant le résultat de l'association d'une fonctionnelle à un ket, l'autre étant le produit scalaire de deux kets.
Il existe une correspondance entre bra et ket:
(mais <ψ| → |ψ> n'est pas toujours vrai.)
L'antilinéarité du produit scalaire implique la correspondance suivante:
En effet, la norme de λ|ψ> est définie positive:
On identifie le ket λ|ψ>, ce qui implique que le "reste" de l'expression est le correspondant dans l'espace dual.
L'écriture de la norme permet d'écrire un bra sous forme de composantes:
On représente aussi le bra sous la forme d'un vecteur ligne,une suite de nombres (les composantes) rangés horizontalement:
En effet, la définition même du produit scalaire nous incite à l'écrire en terme de matrice de la façon suivante:
χ(|ψ>) = λ = <χ|ψ>
φ(|ψ>) = λ = (|φ>,ψ>)
(|φ>,ψ>) = <φ| |ψ> = <φ|ψ>
Propriétés
|ψ> → <ψ|
λ|ψ> → λ*<ψ|
|| λ|ψ> ||2 = λλ*<ψ|ψ> = (λ*<ψ|) (λ|ψ>)
Composantes
<ψ| = ∑ (cn)*
